1.下表是某年10月的月历,观察月历,解答问题:
(1)小艳国庆假期外出旅行三天,三天日期之和是12,小艳是星期几出发的?
(2)“十字形”阴影覆盖其中五个方格,设“十字形”阴影覆盖的最小数为x,五个数之和为S,S的值能否等于75?若能,求出x的值;若不能,请说明理由.
答案：1.解:(1)设小艳出发的日期是x,则另外两天的日期分别是(x+1),(x+2).
根据题意,得x+x+1+x+2=12,
解得x=3.
答:小艳是星期四出发的.
(2)S的值能等于75.理由如下:
假设S的值能等于75,
因为“十字形”阴影覆盖的最小数为x,
所以“十字形”阴影覆盖的另外四个数分别为(x+7),(x+6),(x+8),(x+14).根据题意,得
x+(x+7)+(x+6)+(x+8)+(x+14)=75,
解得x=8.
因为10月8日是星期二,在第三列,此时能形成“十字形”阴影,所以x=8符合题意,
所以假设成立,即S的值能等于75.
解析：
【分析】
(1) 旅行三天的日期是连续整数，相邻两天日期相差1，我们可以设出发日期为x，另外两天日期分别为x+1、x+2，根据三天日期之和为12列一元一次方程，求出x后对照月历对应星期即可得到答案。
(2) 首先明确月历的数字规律：同一行左右两个数相差1，同一列上下两个数相差7。十字形中最小数是最上方的数，设为x，可根据规律表示出其余四个数，假设五个数和为75列方程求解，最后验证得到的x是否能构成十字形，判断解是否符合实际即可。
【解析】
(1) 设小艳出发的日期是x，则另外两天的日期分别是$(x+1)$、$(x+2)$。
根据题意列方程：
$x+(x+1)+(x+2)=12$
合并同类项得：$3x+3=12$
移项计算得：$3x=9$
解得：$x=3$
对照月历可知，3号对应星期四，因此小艳是星期四出发的。
(2) S的值能等于75，理由如下：
假设S的值等于75，设十字形覆盖的最小数为x，根据月历数字规律，其余四个数分别为$x+6$、$x+7$、$x+8$、$x+14$。
根据题意列方程：
$x+(x+6)+(x+7)+(x+8)+(x+14)=75$
合并同类项得：$5x+35=75$
移项计算得：$5x=40$
解得：$x=8$
对照月历，10月8日是星期二，位于第三列，以8为最上方的数可以构成符合要求的十字形，解符合实际，因此假设成立。
【答案】
(1) 小艳是星期四出发的；
(2) 能，x的值为8。
【知识点】
一元一次方程应用，日历数字规律，解的合理性检验
【点评】
本题结合生活中常见的月历设计问题，既考查了一元一次方程的解法和实际应用能力，也要求学生掌握月历数字的排列规律，解题时要注意求出方程的解后需验证是否符合实际场景，避免得到无效解。
【难度系数】
0.7
2.如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为$a_1,a_2,a,a_3,a_4$。
(1)若$a_1=1$，则$a_2=$
8
，$a=$
9
；若$a=x$，则$a_4=$
$x-6$
（用含$x$的式子表示）。
(2)在移动“凹”字型框过程中，小明说被框住的5个数字之和可能为106，小欣说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由。
(3)另一个“凹”字型框框住的五个数分别为$b_1,b_2,b,b_3,b_4$，且$b=2a+1$，则符合条件的$b$的值为
21或23或29
。
答案：2.(1)8 9 $x-6$
(2)解:小明的说法对,小欣的说法不对.理由如下:
小明:$(a-8)+(a-1)+a+(a+1)+(a-6)=5a-14=106$,解得$a=24$.
小欣:$(a-8)+(a-1)+a+(a+1)+(a-6)=5a-14=90$,解得$a=20.8$(不符合题意,舍去).
所以小明的说法对,小欣的说法不对.
(3)21或23或29 点拨:因为$a_1=a-8,a_2=a-1,a_3=a+1,a_4=a-6,b=2a+1$,
所以$b_1=b-8=2a-7,b_2=2a,b_3=2a+2,b_4=2a-5$,
由题图知a,b的值可以为9,10,11,14,15,16,17,18,21,22,23,24,25,28,29,30,
所以$2a+1$的值可以为19,21,23,29,31,33,35,37,43,45,47,49,51,57,59,61,
所以b的值可以为21或23或29.
解析：
【分析】
解题首先要明确月历的基本规律：同一行相邻数字相差1，同一列相邻数字相差7。观察“凹”字型各数的位置，先推导五个数和中间数$a$的关系：$a_2$在$a$左侧，故$a_2=a-1$；$a_3$在$a$右侧，故$a_3=a+1$；$a_1$在$a_2$正上方，故$a_1=a_2-7=a-8$；$a_4$在$a_3$正上方，故$a_4=a_3-7=a-6$。
(1)直接代入上述数量关系计算即可；
(2)先列出五个数的和的代数式，分别令其等于106和90，解一元一次方程，判断解是否为正整数且符合月历的位置要求；
(3)先确定$a$所有可作为“凹”字型中间数的取值，再根据$b=2a+1$，且$b$也需是可行的“凹”字型中间数，筛选出符合条件的$b$。
【解析】
(1)若$a_1=1$，则$a_2=a_1+7=1+7=8$，$a=a_2+1=8+1=9$；若$a=x$，由上述推导得$a_4=x-6$。
(2)五个数的和为：$a_1+a_2+a+a_3+a_4=(a-8)+(a-1)+a+(a+1)+(a-6)=5a-14$。
小明的说法：令$5a-14=106$，解得$5a=120$，$a=24$，24是正整数，符合月历日期要求，说法正确；
小欣的说法：令$5a-14=90$，解得$5a=104$，$a=20.8$，日期为正整数，不符合要求，说法错误。
(3)首先确定可作为“凹”字型中间数的取值为：9、10、11、14、15、16、17、18、21、22、23、24、25、28、29、30。
因为$b=2a+1$，且$b$也需属于上述取值集合：
$a=10$时，$b=2×10+1=21$，符合；
$a=11$时，$b=2×11+1=23$，符合；
$a=14$时，$b=2×14+1=29$，符合；
其余$a$对应的$b$均不在取值集合内，故$b$的值为21、23、29。
【答案】
(1)$8$，$9$，$x-6$
(2)同意小明的说法，不同意小欣的说法，理由见解析
(3)$21$或$23$或$29$
【知识点】
日历数字规律、列代数式、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合月历场景考查数字规律探究与方程的实际应用，解题核心是准确推导“凹”字型各数与中间数的数量关系，求解后要注意结合日期为正整数、符合月历排列规则的特点验证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
