11.(2025·沈河区期中)在学习完“因式分解”后,为了开拓学生的思维,宋老师在黑板上写了题目:
因式分解:$x^2 - xy +6x -6y$.
下面是甜甜的解法:
解:$x^2 - xy +6x -6y$
$=(x^2 - xy)+(6x -6y)$(分组)
$=x(x - y)+6(x - y)$(提公因式)
$=(x - y)(x +6)$.
请利用上述方法,解答下列各题:
(1)分解因式:$m^2 -2m +2n -mn$;
(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^2 -b^2 -ac +bc=0$,判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
答案：11.解:(1)原式$=(m^2-2m)+(2n-mn)=m(m-2)+n(2-m)=(m-2)(m-n)$.
(2)$△ ABC$是等腰三角形.理由如下:
$\because a^2-b^2-ac+bc=0,\therefore (a-b)(a+b-c)=0$.
$\because a+b-c＞0,\therefore a-b=0,\therefore a=b$,
$\therefore △ ABC$是等腰三角形.
12. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将 $2a - 3ab - 4 + 6b$ 因式分解.
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式$=(2a - 3ab) - (4 - 6b) = a(2 - 3b) - 2(2 - 3b) = (2 - 3b)(a - 2)$.
解法二：原式$=(2a - 4) - (3ab - 6b) = 2(a - 2) - 3b(a - 2) = (a - 2)(2 - 3b)$.
【类比】(1)请用分组分解法将 $x^2 - a^2 + x + a$ 因式分解；
【挑战】(2)请用分组分解法将 $ax + a^2 - 2ab - bx + b^2$ 因式分解；
(3)若 $a^2 + b^2 = 9$，$a - b = 2$，请用分组分解法先将 $a^4 - 2a^3b + 2a^2b^2 - 2ab^3 + b^4$ 因式分解，再求值.
答案：12.解:(1)原式$=(x^2-a^2)+(x+a)=(x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1)$.
(2)原式$=(a^2-2ab+b^2)+(ax-bx)=(a-b)^2+(a-b)x=(a-b)(a-b+x)$.
(3)原式$=(a^4+2a^2b^2+b^4)-(2a^3b+2ab^3)=(a^2+b^2)^2-2ab(a^2+b^2)=(a^2+b^2)(a^2-2ab+b^2)=(a^2+b^2)(a-b)^2$.
当$a^2+b^2=9,a-b=2$时,
原式$=9×4=36$.
