1.把一个多项式化成几个
整式
的
乘积
的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的
因式分解
，也叫作把这个多项式
分解因式
。
答案：1.整式 乘积 因式分解 分解因式
解析：
【分析】
本题考查因式分解的基础定义，解题时只需回忆教材中因式分解的概念内容，对应空缺位置填入对应的关键词即可。首先明确因式分解的变形要求：结果必须是几个整式相乘的形式，该变形的名称为因式分解，也可表述为分解因式，直接对应填空即可。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因此四个空缺依次填入对应概念中的关键词即可。
【答案】
整式 乘积 因式分解 分解因式
【知识点】
因式分解的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对因式分解定义的识记，是因式分解部分的入门必掌握内容，牢记教材核心定义即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 多项式 $ ma + mb + mc $ 中，各项都含有一个公共的因式
$m$
，我们把
因式$m$
叫作这个多项式各项的
公因式
。
答案：2.$m$ 因式$m$ 公因式
解析：
【分析】
解题时先逐个分析多项式各项的因式组成，把每一项拆成两个因式相乘的形式，再对比找出所有项共同包含的因式，最后结合公因式的定义对应填空即可。
【解析】
首先拆分多项式的每一项：
$ma=m· a$，$mb=m· b$，$mc=m· c$
观察可得三项都含有公共的因式$m$；根据公因式的定义，多项式各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式，因此因式$m$就是这个多项式各项的公因式。
【答案】
$m$；因式$m$；公因式
【知识点】
公因式的定义，单项式因式拆分
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对公因式相关概念的理解，是学习提公因式法分解因式的基础，熟练掌握概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1.将多项式$-6a^3b^2 - 3a^2b^2$因式分解时，应提取的公因式是 （
A
）
A.$-3a^2b^2$
B.$-3ab$
C.$-3a^2b$
D.$-3a^3b^3$
答案：1.A
解析：
【分析】
拿到这道题首先回忆提公因式法中确定公因式的步骤：第一步定系数，找各项系数的最大公约数，若多项式首项系数为负，公因式系数要带负号；第二步定字母，找各项都含有的相同字母；第三步定指数，相同字母取次数最低的幂，最后将系数、字母部分组合得到公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
确定公因式分三步计算：
1. 定系数：多项式两项的系数为-6和-3，它们绝对值的最大公约数是3，由于首项系数为负，因此公因式的系数为-3；
2. 定字母：两项都含有的相同字母是a和b；
3. 定指数：a在两项中的次数分别为3和2，取最低次2；b在两项中的次数都是2，取最低次2。
将三部分组合可得公因式为$-3a^2b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题是基础类题型，核心考查提公因式时公因式的确定方法，牢记“定系数、定字母、定指数”的三步规则即可快速解题，解题时要注意不要遗漏首项的负号，以及相同字母需取最低次幂。
【难度系数】
0.9
2.若$x-y=2$，$xy=3$，则$x^2y - xy^2$的值为（
C
）
A.1
B.-1
C.6
D.-6
答案：2.C
解析：
【分析】
解题时先观察待求的代数式$x^2y - xy^2$，发现两项中都含有公因式$xy$，首先用提公因式法对其因式分解，分解后可得到含已知条件$x-y$和$xy$的式子，再将已知数值直接代入计算即可，不需要单独求出x、y的具体值，能简化计算过程。
【解析】
1. 对所求代数式提取公因式$xy$进行因式分解：
$x^2y - xy^2 = xy(x - y)$
2. 将已知条件$x-y=2$，$xy=3$代入分解后的式子计算：
原式$=3×2=6$
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；代数式求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查因式分解在代数式求值中的作用，解题关键是先对待求式变形，转化为含已知条件的形式再代入，可大幅简化计算步骤。
【难度系数】
0.85
3. 把下列各式分解因式：
(1)$15a^2b^4 + 5a^2b^2$；
(2)$2m^3 - 4m^2$；
(3)$x^2y - 5xy + 2y$；
(4)$-4m^3 - 16m^2 - 2m$。
答案：3.解:(1)原式=$5a^2b^2(3b^2+1)$.
(2)原式=$2m^2(m-2)$.
(3)原式=$y(x^2-5x+2)$.
(4)原式=$-2m(2m^2+8m+1)$.
解析：
【分析】
这组题目是提公因式法分解因式的基础题型，解题思路分为两步：第一步确定公因式，公因式的确定规则为：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者相乘就是公因式；如果多项式首项系数为负，要将负号一同作为公因式的一部分提取。第二步提取公因式，将多项式的每一项都除以公因式，把得到的商相加作为括号内的因式，最终写成公因式乘括号内多项式的形式即可，注意提取公因式后不能漏项。
【解析】
(1) 先确定公因式：15和5的最大公约数是5，两项都含有的字母a的最低次幂是$a^2$，b的最低次幂是$b^2$，因此公因式为$5a^2b^2$。
提取公因式：原式$=5a^2b^2 · 3b^2 + 5a^2b^2 · 1 = 5a^2b^2(3b^2+1)$。
(2) 确定公因式：2和4的最大公约数是2，两项都含有的字母m的最低次幂是$m^2$，因此公因式为$2m^2$。
提取公因式：原式$=2m^2 · m - 2m^2 · 2 = 2m^2(m-2)$。
(3) 确定公因式：三项都含有的字母是y，最低次幂是y，因此公因式为y。
提取公因式：原式$=y · x^2 - y · 5x + y · 2 = y(x^2-5x+2)$。
(4) 多项式首项系数为负，先提取负号，再确定公因式：4、16、2的最大公约数是2，三项都含有的字母m的最低次幂是m，因此公因式为$-2m$。
提取公因式：原式$=-2m · 2m^2 -2m · 8m -2m · 1 = -2m(2m^2+8m+1)$。
【答案】
(1)$5a^2b^2(3b^2+1)$
(2)$2m^2(m-2)$
(3)$y(x^2-5x+2)$
(4)$-2m(2m^2+8m+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础训练题，重点考查公因式的确定方法，解题时需注意：若多项式首项系数为负，要先提取负号；提取公因式后，括号内的项数要和原多项式项数一致，不能漏写常数项1。
【难度系数】
0.85
4.分解因式：
(1)$a(x-3)+2b(x-3)$；
(2)$a(x-y)+b(y-x)$；
(3)$3a(a-b)-9y(b-a)$；
(4)$6(m-n)^3-12(n-m)^2$。
答案：4.解:(1)原式=$(x-3)(a+2b)$.
(2)原式=$a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)$.
(3)原式=$3a(a-b)+9y(a-b)=3(a-b)(a+3y)$.
(4)原式=$6(m-n)^3-12(m-n)^2=6(m-n)^2(m-n-2)$.
解析：
【分析】
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：①先观察式子各项的公共因式，若公因式直接存在，直接提取即可；若公因式以互为相反数的形式出现，先利用符号规则将其转化为相同的因式，注意偶次幂的底数互为相反数时，偶次幂的值相等（如$(n-m)^2=(m-n)^2$）；②确定公因式后，将公因式提取出来，剩余的项合并化简作为另一个因式；③最后检查结果是否还能继续分解，确保分解彻底。
【解析】
(1) 观察式子可知公因式为$(x-3)$，直接提取公因式：
原式$=(x-3)(a+2b)$
(2) 先将$y-x$变形为$-(x-y)$，使两项出现相同公因式$(x-y)$，再提取公因式：
原式$=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)$
(3) 先将$b-a$变形为$-(a-b)$，使两项出现相同公因式，再提取公因式$3(a-b)$：
原式$=3a(a-b)+9y(a-b)=3(a-b)(a+3y)$
(4) 利用偶次幂的性质，$(n-m)^2=(m-n)^2$，统一公因式为$6(m-n)^2$，再提取公因式：
原式$=6(m-n)^3-12(m-n)^2=6(m-n)^2(m-n-2)$
【答案】
(1)$(x-3)(a+2b)$；(2)$(x-y)(a-b)$；(3)$3(a-b)(a+3y)$；(4)$6(m-n)^2(m-n-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式符号变形，偶次幂的符号性质
【点评】
这组题目是提公因式法分解因式的典型基础题，核心易错点是互为相反数的因式变形时的符号处理，尤其要注意偶次幂的底数互为相反数时幂值不变，提取公因式后需确认剩余项化简正确，无漏项、错号问题。
【难度系数】
0.8
