23.(10分)(2025·市中区期中)学生在学校里的实践环节是教学内容的重要组成部分，是巩固理论知识，汲取新的知识，发展智能的重要途径.某校为了提高学生的探究能力、科学素养和创新意识，特意修建了一个理化生实验中心，如图，长为$(a+5b)$，宽为$(a+b)$的长方形是实验中心的场地示意图，校方计划在场地中间隔出两个边长为$(a-b)$的正方形区域，用于摆放备用实验器材，其他区域(阴影部分)用于实验操作.
(1)用含$a,b$的式子表示实验操作区的面积；
(2)若$a=15$米，$b=5$米，求实验操作区的面积.
答案：解:(1)实验操作区的面积为
$(a+5b)(a+b)-2(a-b)^2=a^2+6ab+5b^2-2(a^2-2ab+b^2)=a^2+6ab+5b^2-2a^2+4ab-2b^2=-a^2+3b^2+10ab.$
(2)当$a=15$米,$b=5$米时,
实验操作区的面积为$-15^2+3×5^2+10×15×5=-225+75+750=600$(平方米).
24.(12分)(2025·工业园区期中)将四个长为a,宽为b的长方形(如图①),拼成如图②的“回形”正方形ABCD和正方形EFGH.
观察与发现
(1)请你观察图②,直接写出$(a+b)^2,(a-b)^2,ab$之间的一个等量关系式为
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
.
运用与探究
(2)根据(1)的结论,解决问题:已知$2x+3y=7,xy=2$,求$2x-3y$的值.
实践与拓展
(3)将正方形$A_1B_1C_1D_1$和正方形$E_1F_1G_1H_1$按如图③摆放(点$H_1$与点$A_1$重合),若这两个正方形面积之和为106,$B_1E_1=4$,求图中阴影部分的面积之和.
答案：(1)$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2)解:$\because 2x+3y=7$,$xy=2$,
$\therefore (2x-3y)^2=(2x+3y)^2-24xy=49-48=1$,
$\therefore 2x-3y=±1.$
(3)解:设正方形$A_1B_1C_1D_1$的边长为$m$,正方形$E_1F_1G_1H_1$的边长为$n$,由题意,得
$m-n=A_1B_1-A_1E_1=B_1E_1=4$,$m^2+n^2=106.$
$\because (m-n)^2=m^2-2mn+n^2$,即$16=106-2mn$,
$\therefore mn=45.$
又$\because (m+n)^2=(m-n)^2+4mn=16+180=196$,而$m＞n＞0$,$\therefore m+n=14$,
$\therefore S_{阴影}=S_{△B_1C_1F_1}+S_{△D_1F_1G_1}=\frac{1}{2}m(m-n)+\frac{1}{2}n(m-n)=\frac{1}{2}(m+n)(m-n)=\frac{1}{2}×14×4=28.$
