24.(8分)(2025·重庆)某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个,3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个?
(2)由于市场需求量增加,该厂对生产流程进行了改进.改进后,每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量,且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1400个,乙比甲多用10天,求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
答案：24.解:
(1)设该厂每天生产甲种文创产品的数量是$x$个,则每天生产乙种文创产品的数量是$(x-50)$个,
根据题意,得$3x-4(x-50)=100$,
解得$x=100$,$\therefore x-50=100-50=50$.
答:该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个,每天生产乙种文创产品的数量是50个.
(2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是$y$个,则每天生产的甲种文创产品增加的数量是$2y$个,
根据题意,得$\frac{1400}{50+y}-\frac{1400}{100+2y}=10$,
方程两边乘$2(50+y)$,得$2×1400-1400=20(50+y)$,
解得$y=20$.
检验:当$y=20$时,$2(50+y)≠0$,所以$y=20$是原分式方程的解.
答:每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个.
25.(9分)(2025·慈溪期末)在分式中,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”,当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”,假分式可以化成“带分式”,即整式与真分式的和的形式,如$\frac{2x+3}{x+1}=\frac{2(x+1)+1}{x+1}=2+\frac{1}{x+1}$.
(1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确:(填“是”或“否”)
①$\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$
是
;②$\frac{a^2+3a+3}{a+1}=a+2+\frac{2}{a+1}$
否
.
(2)若分式$\frac{4a+3}{a-1}$的值为整数,求满足条件的所有正整数$a$的值.
(3)若分式$\frac{3x+6}{3-2x}$和$\frac{1}{x}$的值同为整数,求满足条件的所有实数$x$的值.
答案：25.
(1)①是 ②否
(2)解:$\frac{4a+3}{a-1}=\frac{4a-4+7}{a-1}=4+\frac{7}{a-1}$.
$\because$分式$\frac{4a+3}{a-1}$的值为整数,
$\therefore a-1=±1$或$a-1=±7$,
解得$a=2$或$a=0$或$a=8$或$a=-6$.
$\because a$为正整数,
$\therefore$满足条件的所有正整数$a$的值为2或8.
(3)解:设$\frac{3x+6}{3-2x}=m$,$\frac{1}{x}=n$,其中$m$,$n$都是整数,
由$\frac{1}{x}=n$得$x=\frac{1}{n}$,
代入$\frac{3x+6}{3-2x}=m$,得$m=\frac{\frac{3}{n}+6}{3-\frac{2}{n}}=\frac{6n+3}{3n-2}=2+\frac{7}{3n-2}$,
$\therefore 3n-2=±1$或$3n-2=±7$,
解得$n=1$或$n=\frac{1}{3}$(舍去)或$n=3$或$n=-\frac{5}{3}$(舍去),
$\therefore x=1$或$x=\frac{1}{3}$.
