例4 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地. 张华在前半段路程的平均行走速度是$a$ km/h，在后半段路程的平均行走速度是$b$ km/h；李明全程的平均行走速度是$\frac{a+b}{2}$ km/h. 如果$a≠b$，两人谁先到达乙地？
解：设从甲地到乙地的路程为$s$ km，张华从甲地到乙地的时间（单位：h）为
$\frac{\frac{s}{2}}{a} + \frac{\frac{s}{2}}{b} = \frac{(a+b)s}{2ab}$，
李明从甲地到乙地的时间（单位：h）为
$\frac{s}{\frac{a+b}{2}} = \frac{2s}{a+b}$，
两人的时间差为
$\frac{(a+b)s}{2ab} - \frac{2s}{a+b} = \frac{(a+b)^2 s -4abs}{2ab(a+b)} = \frac{(a^2 -2ab +b^2)s}{2ab(a+b)} = \frac{(a-b)^2 s}{2ab(a+b)}$，
因为$s$，$a$，$b$均大于0，且$a≠b$，所以$\frac{(a-b)^2 s}{2ab(a+b)}＞0$，即$\frac{(a+b)s}{2ab}＞\frac{2s}{a+b}$。
因此，李明先到达乙地。
答案：解：设从甲地到乙地的路程为$s\ \mathrm{km}$。
张华从甲地到乙地的时间为：
$\frac{\frac{s}{2}}{a} + \frac{\frac{s}{2}}{b} = \frac{s}{2a} + \frac{s}{2b} = \frac{(a+b)s}{2ab}\ \mathrm{h}$
李明从甲地到乙地的时间为：
$\frac{s}{\frac{a+b}{2}} = \frac{2s}{a+b}\ \mathrm{h}$
两人的时间差为：
$\begin{aligned}\frac{(a+b)s}{2ab} - \frac{2s}{a+b} &= \frac{(a+b)^2 s - 4abs}{2ab(a+b)} \\&= \frac{(a^2 - 2ab + b^2)s}{2ab(a+b)} \\&= \frac{(a-b)^2 s}{2ab(a+b)}\end{aligned}$
因为$s$，$a$，$b$均大于0，且$a≠ b$，所以$(a-b)^2＞0$，可得$\frac{(a-b)^2 s}{2ab(a+b)}＞0$，即张华的行走时间大于李明的行走时间。
答：李明先到达乙地。
