活动一 牧民饮马问题
任务1 如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
提示：从数学的角度看，如果把河边l近似地看成一条直线，问题就是要在直线l上找一点C，使AC与CB的和最小（图2）。
94 综合与实践 最短路径问题
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（1）如果点A，B是直线l异侧的两个点，如何在l上找一点C，使AC与CB的和最小（图3）？
（2）在任务1中，点A，B在直线l的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为（1）中的问题吗（参考图4）？
任务2 证明你在任务1中得到的结论。
提示：设点C为河边l上使AC+CB最小的点，在l上另外任取一点C'，证明AC+CB＜AC'+C'B。
任务3 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决。
答案：解：
(1) 连接点A、B，交直线l于点C，点C即为所求的点。
依据两点之间线段最短，此时$AC+CB=AB$，是A、B两点间的最短距离，该点满足$AC+CB$的和最小。
(2) 作点B关于直线l的对称点$B'$，此时点$B'$和点A在直线l的异侧，连接$AB'$，交直线l于点C，点C即为所求的饮马点，将同侧求最短路径的问题转化为(1)中异侧两点连线与直线交点的最短路径问题。
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任务2 证明：
在直线l上任取一个异于点C的点$C'$，连接$AC'$、$BC'$、$B'C'$。
∵ 点B和点$B'$关于直线l对称，
∴ 直线l垂直平分线段$BB'$，
∴ $CB = CB'$，$C'B = C'B'$。
∴ $AC + CB = AC + CB' = AB'$，
$AC' + C'B = AC' + C'B'$。
在$△ AB'C'$中，由三角形两边之和大于第三边，得$AB' ＜ AC' + C'B'$，
∴ $AC + CB ＜ AC' + C'B$，
即点C是直线l上使$AC+CB$和最小的点，结论得证。
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任务3 示例：
现实问题：两个村庄A、B在一条笔直的小河l的同侧，现要在河岸边建一个自来水厂，分别向两个村庄铺设水管，要让铺设的水管总长度最短，自来水厂应建在岸边的什么位置？
解决方法：作点A关于直线l的对称点$A'$，连接$A'B$，与直线l的交点即为自来水厂的建造位置，此时总水管长度最短，证明过程同任务2的证明。
