1、如图，在钉子板上围多边形，下面每个多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉子各有多少枚？每个多边形内的钉子各有多少枚？数一数，算一算，将结果填入表中。
(1)这些多边形的共同特点是多边形内只有（
1
）枚钉子。
(2)当多边形内只有1枚钉子时，这些多边形面积的平方厘米数是它们边上钉子枚数的（
一半
）。
(3)当多边形内只有1枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，那么S=（
n÷2
）。
答案：1. 1 6 3 1 6 3 1 5 2.5 1 8 4
(1)1
(2)一半
(3)n÷2
2.如图,在钉子板上围多边形,如果多边形内有2枚钉子,用n表示多边形边上的钉子数,用S表示多边形的面积,那么$S=(\quad)$。
A.$(n-2)÷ 2$
B.$n÷ 2+2$
C.$n÷ 2-1$
D.$n÷ 2+1$
答案：2. D
【点拨】通过观察可知，多边形的面积S与多边形边上的钉子数n和多边形内的钉子数a的关系是S=a+n÷2-1，代入题中数据，可知S=2+n÷2-1=n÷2+1。
3.如图,在点子图上画四个图形,每个图形的面积是多少平方厘米？(横、竖每相邻两个点之间的距离是1厘米)
奥地利数学家乔治·亚历山大·皮克发现:格点多边形的面积=边界的格点数÷2+内部的格点数-1,这个发现也被称为“皮克定理”。
(1)①号格点多边形的边界的格点数是8,内部的格点数是3,它的面积是(
6
)平方厘米。
(2)②号格点多边形的边界的格点数是(
3
),内部的格点数是(
5
),它的面积是(
5.5
)平方厘米。
(3)③号和④号格点多边形的面积相比较,(
④
)号格点多边形的面积大,请你用上面的方法验证一下。
答案：3.(1)6
(2)3 5 5.5
(3)④
③号格点多边形的面积：9÷2+4-1=7.5（平方厘米）
④号格点多边形的面积：16÷2+6-1=13（平方厘米）
7.5＜13, 所以④号格点多边形的面积大。
【点拨】根据题中的“格点多边形的面积=边界的格点数÷2+内部的格点数-1”进行计算。
4.一个钉子板横、竖每相邻两枚钉子之间的距离都是1厘米。
(1)在钉子板上围一个内部没有钉子的四边形，且边上有10枚钉子，它的面积是(
4
)平方厘米。
(2)在钉子板上围一个内部有3枚钉子的八边形，且面积为6平方厘米，它的边上有(
8
)枚钉子。
答案：4.(1)4
(2)8
【点拨】分别把数据代入“格点多边形的面积=边界的格点数÷2+内部的格点数-1”，(1)直接进行计算，(2)对数量关系进行变形，因为6=边界的格点数÷2+3-1，所以边界的格点数=(6-3+1)×2=8。
5.在下面的点子图上,画出两个面积是6平方厘米且形状不同的多边形。(横、竖每相邻两个点之间的距离都是1厘米)
答案：5. 画图如下：
（答案不唯一）
