5.(2025·上海期末)明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，恰合用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹.请问先生能算者，都来寺内几多僧?”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？请解答这个中国古代数学问题.
答案：5.解:设寺里有x个和尚,根据题意,得$\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=364$,解得$x=624$.
答:寺里有624个和尚.
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先需要找准题目中的等量关系：饭碗总数量+汤碗总数量=碗的总数量364只。因为所求为和尚总数，我们直接设和尚总人数为未知数x：每3个和尚共用1碗饭，所以饭碗数量为总人数除以3，即$\frac{x}{3}$；每4个和尚共用1碗汤，所以汤碗数量为总人数除以4，即$\frac{x}{4}$。将两类碗的数量相加等于总碗数，即可列出一元一次方程，求解后就能得到和尚总数。
【解析】
解：设寺里有x个和尚。
根据“饭碗数量+汤碗数量=总碗数”的等量关系列方程：
$\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=364$
通分得：$\frac{4x}{12}+\frac{3x}{12}=364$
合并同类项得：$\frac{7x}{12}=364$
系数化为1得：$x=364×\frac{12}{7}=624$
答：寺里有624个和尚。
【答案】
624个
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题结合中国古代数学文化命题，属于一元一次方程应用的基础题型，解题核心是准确理解题意，找准数量间的等量关系，合理设未知数后即可列方程求解。
【难度系数】
0.8
6.《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他。问速度快的人追上他需要
2.5
分钟。
答案：6.2.5
解析：
【分析】
这是典型的行程类追及问题，解题核心是找准追及过程中的路程等量关系。我们可以先设追及所需时间为未知数，分别表示出相同时间内快、慢两人行走的路程，结合“快的人走的总路程=慢的人先走的路程+慢的人在追及时间内走的路程”这一等量关系，列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设速度快的人追上速度慢的人需要$x$分钟。
根据追及问题的路程等量关系可列方程：
$100x = 100 + 60x$
移项得：$100x - 60x = 100$
合并同类项得：$40x = 100$
系数化为1得：$x = 2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
一元一次方程的应用、追及问题
【点评】
本题以中国古代数学专著《九章算术》中的问题为背景，考查行程追及问题的求解，解题关键是准确梳理路程间的等量关系建立方程，既考查了方程的应用能力，也能让学生感受到传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.8
7.(2025·连云港期末)《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题:今有空车日行八十里,重车日行六十里;今载太仓粟输上林,五日三返,问太仓去上林几何? 译文如下:有人用车把米从太仓运到上林,空车时每天行驶80里,装米时每天行驶60里,载货去,空车返回,5天往返3次,问太仓到上林的距离是
$\frac{400}{7}$
里.
答案：7.$\frac{400}{7}$
解析：
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，核心等量关系为：往返3次的总用时等于5天。解题时先设太仓到上林的距离为未知数，再分别计算重车、空车行驶单程的时间，相加得到单次往返的用时，结合3次往返总用时为5天的条件列方程求解即可。
【解析】
解：设太仓到上林的距离为$ x $里。
单次往返中，重车行驶时间为$ \frac{x}{60} $天，空车行驶时间为$ \frac{x}{80} $天，因此单次往返总用时为$ (\frac{x}{60}+\frac{x}{80}) $天。
根据5天往返3次的条件可列方程：
$ 3×( \frac{x}{60} + \frac{x}{80} ) = 5 $
先通分计算括号内的式子：
$ \frac{x}{60}+\frac{x}{80} = \frac{4x}{240}+\frac{3x}{240} = \frac{7x}{240} $
代入方程化简得：
$ \frac{7x}{80}=5 $
解得：
$ x = \frac{400}{7} $
【答案】
$ \frac{400}{7} $
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题计算；列方程解应用题
【点评】
本题以《九章算术》的传统数学问题为背景，兼具趣味性与实用性，重点考查学生从实际问题中提取等量关系、建立方程求解的能力，解题关键是准确表示单次往返的总用时。
【难度系数】
0.7
8.(2025·南京江宁区期末)《九章算术》中记载了这样一个数学问题:今有甲发长安,五日至齐；乙发齐,七日至长安.今乙发已先二日,甲乃发长安.问几何日相逢? 译文:甲从长安出发,5日到齐国,乙从齐国出发,7日到长安,现乙先出发2日,甲才从长安出发,问甲出发后第几日与乙相逢?(结果取整数)
答案：8.解:设甲出发后第x日与乙相逢,根据题意,得$\frac{x+2}{7}+\frac{x}{5}=1$,解得$x=\frac{25}{12}$.因为x取整数,所以x=3.
答:甲出发后第3日与乙相逢.
解析：
【分析】
这是行程类相遇问题，由于未给出长安到齐国的具体路程，我们可将总路程看作单位“1”，先求出甲、乙的行驶速度：甲每日走总路程的$\frac{1}{5}$，乙每日走总路程的$\frac{1}{7}$。设甲出发后x日相逢，此时乙已经出发了(x+2)日，相遇时两人走过的路程之和等于总路程，据此等量关系列一元一次方程求解，最后按要求对结果取整数即可。
【解析】
解：设甲出发后第x日与乙相逢。
把长安到齐国的总路程看作单位“1”，则甲的速度为$\frac{1}{5}$/日，乙的速度为$\frac{1}{7}$/日。
乙先出发2日，所以乙一共行驶了$(x+2)$日，根据相遇时两人路程和等于总路程，列方程得：
$\frac{x+2}{7}+\frac{x}{5}=1$
通分去分母得：$5(x+2)+7x=35$
展开并整理得：$12x=25$
解得$x=\frac{25}{12}\approx2.08$
题目要求结果取整数，因此$x=3$。
答：甲出发后第3日与乙相逢。
【答案】
甲出发后第3日与乙相逢
【知识点】
一元一次方程的应用，行程相遇问题，单位“1”设元
【点评】
本题以《九章算术》的古代数学问题为背景，兼具趣味性和实用性，核心考查利用一元一次方程解决实际相遇问题的能力，解题关键是通过设总路程为单位“1”简化速度的表示，同时要注意题目对结果取整数的要求，避免直接舍去小数部分出错。
【难度系数】
0.7
