1.(2025·湖北)幻方起源于中国,月历常用于生活,它们有很多奥秘,探究并完成填空.
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动一 图①是某月的月历,用方框选取了其中的9个数.
(1)移动方框,若方框中的部分数如图②所示,则a是
5
,b是
11
;
(2)移动方框,若方框中的部分数如图③所示,则c是
n+1
,d是
n+7
;(注:用含n的代数式表示c和d.)
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
图②：
4 a 6
b
20
图③：
n c n+2
d
n+16
活动二 移动方框选取月历中的9个数,调整它们的位置,使其满足“三阶幻方”分布规律:每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等.
(3)若方框选取的数如图④所示,调整后,部分数的位置如图⑤所示,则e是
11
,f是
3
;
(4)若方框选取的数中最小的数是n,调整后,部分数的位置如图⑥所示,则g是
n+8
(用含n的代数式表示g).
图④：
2 3 4
9 10 11
16 17 18
图⑤：
17 2 e
10
18 f
图⑥：
n+2
n g n+16
解析：
【分析】
首先明确两个核心规律：①月历数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7；②三阶幻方规律：每行、每列、两条对角线上的三个数之和相等，且这个和是9个数总和的1/3，中间数是9个数的平均数。
解题时按小问依次推导：(1)根据同行差1求a，同列差7求b；(2)类比(1)的规律用含n的代数式表示c、d；(3)先算9个数总和得幻方的三数和，再根据第一行的和求e，结合幻方规律求f；(4)先写出最小数为n时的9个数字，计算幻方三数和，再根据中间行的和列等式求g。
【解析】
(1) 月历同一行相邻数差1，第一行三个数为4、a、6，因此$a=4+1=5$；
4在第一行第一列，同一列下一行数比上一行大7，因此$b=4+7=11$。
(2) 同一行相邻数差1，第一行三个数为n、c、n+2，因此$c=n+1$；
n在第一行第一列，同一列下一行数比上一行大7，因此$d=n+7$。
(3) 先计算图④中9个数的总和：$2+3+4+9+10+11+16+17+18=90$，因此三阶幻方每行、每列、对角线的三数和为$90÷3=30$；
第一行三个数为17、2、e，因此$17+2+e=30$，解得$e=11$；
结合幻方三数和的规律，可求得$f=3$。
(4) 最小数为n时，方框中9个数依次为$n,n+1,n+2,n+7,n+8,n+9,n+14,n+15,n+16$，总和为$9n+72$，因此幻方三数和为$(9n+72)÷3=3n+24$；
中间行三个数为n、g、n+16，因此$n+g+(n+16)=3n+24$，解得$g=n+8$。
【答案】
(1)5，11；(2)$n+1$，$n+7$；(3)11，3；(4)$n+8$
【知识点】
月历数字规律，列代数式，三阶幻方性质
【点评】
本题结合生活中的月历和中国传统幻方知识考查数字规律探究，既需要熟练掌握常见数字排列规律，也需要灵活运用代数式运算解决问题，是传统文化与数学知识结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
