【分析】
(1) 要推导顶点数V、面数F、棱数E的关系式，可将表格中每组对应数据代入计算$V+F-E$的结果，观察结果是否为定值，即可归纳出通用关系式。
(2) 判断能否组成指定多面体，只需将已知的V、F、E代入(1)中得到的欧拉公式，验证是否满足等式，若不满足则无法组成该多面体。
(3) 正二十面体的面数F=20，已知棱数E=30，直接代入欧拉公式即可求解顶点数V。
(4) ①已知顶点数V=12，每个顶点连接4条棱，由于每条棱会被2个顶点共享，先算出总棱数E，再代入欧拉公式求面数F。②设正五边形面数为x，正三角形面数为y，结合棱的公共属性得到3y=5x，再根据顶点、棱的共享关系求出顶点数V的表达式，最后代入欧拉公式求出x、y的差值即可。
【解析】
(1) 分别计算表格中各多面体的$V+F-E$：四面体$4+4-6=2$，立方体$8+6-12=2$，其余多面体代入计算后结果均为2，因此三者的关系式为$\boldsymbol{V+F-E=2}$。
(2) 不能，理由如下：
将$V=13$，$F=10$，$E=24$代入欧拉公式，得$V+F-E=13+10-24=-1≠2$，不满足欧拉公式，因此不能组成有24条棱、10个面、13个顶点的多面体。
(3) 正二十面体的面数$F=20$，已知$E=30$，代入$V+F-E=2$得：
$V+20-30=2$，解得$V=12$。
(4) ①每条棱被2个顶点共享，因此总棱数$E=\frac{12×4}{2}=24$，将$V=12$，$E=24$代入欧拉公式得：
$12+F-24=2$，解得$F=14$。
②设正五边形的面数为$x$，正三角形的面数为$y$。由于每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，因此正三角形总边数、正五边形总边数均等于棱数$E$，即$3y=5x=E$，得$y=\frac{5}{3}x$，$E=5x$。
结合多面体顶点处面角和小于360°的属性，可知每个顶点处有2个正五边形和2个正三角形，每个顶点属于2个正五边形，因此顶点数$V=\frac{5x}{2}$，面数$F=x+y=\frac{8x}{3}$。
代入欧拉公式得：$\frac{5x}{2}+\frac{8x}{3}-5x=2$，解得$x=12$，则$y=\frac{5}{3}×12=20$，因此$y-x=20-12=8$，即正三角形比正五边形多8个。
【答案】
(1) $V+F-E=2$
(2) 不能，理由：因为$10+13-24=-1≠2$，所以不能组成一个有24条棱、10个面、13个顶点的多面体。
(3) 12
(4) ①14 ②8
【知识点】
1. 欧拉公式
2. 多面体顶点、面、棱的关系
【点评】
本题围绕欧拉公式设置问题，从规律猜想、基础验证到实际应用，层层递进，既考查了学生的归纳推理能力，又考查了对公式的灵活运用能力，解题时需注意顶点、棱、面的共享属性，具备一定的综合性。
【难度系数】
0.6