【分析】
要证明$MN=\frac{1}{2}(AB+CD)$，首先利用线段中点的性质，将$MC$、$DN$转化为对应线段$AC$、$BD$的一半；再观察线段组成，将$MN$拆分为$MC+CD+DN$，代入中点性质的结论后，$MN$可表示为含$AC$、$BD$、$CD$的式子；最后利用$AC+BD=AB-CD$的和差关系进行代换，化简后即可得到要证的结论。
【解析】
第一步：根据线段中点的定义，可得中点分线段的数量关系：
因为$M$是$AC$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$；
因为$N$是$BD$的中点，所以$DN=\frac{1}{2}BD$。
第二步：拆分目标线段$MN$，代入上述结论：
由线段的和差关系可知，$MN=MC+CD+DN$，
将$MC=\frac{1}{2}AC$、$DN=\frac{1}{2}BD$代入得：
$MN=\frac{1}{2}AC+CD+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)+CD$。
第三步：结合$AB$的线段组成进行等量代换，化简式子：
因为$AB=AC+CD+BD$，所以$AC+BD=AB-CD$，
将其代入上式得：
$MN=\frac{1}{2}(AB-CD)+CD=\frac{1}{2}AB-\frac{1}{2}CD+CD=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(AB+CD)$。
【答案】
因为$M$是$AC$的中点,所以$MC=\frac{1}{2}AC$.
因为$N$是$BD$的中点,所以$DN=\frac{1}{2}BD$.
因为$MN=MC+CD+DN$,
所以$MN=\frac{1}{2}AC+CD+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)+CD$.
因为$AC+BD=AB-CD$,所以$MN=\frac{1}{2}(AB-CD)+CD=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(AB+CD)$。
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算
【点评】
本题属于线段推导的基础题型，解题关键是合理拆分目标线段，结合中点性质进行等量代换，再利用线段间的和差关系化简求解，熟练掌握这类方法可快速解决同类线段计算与证明问题。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 求解DE的长度时，首先根据已知AB的长度和BC与AB的数量关系求出BC，再计算AC的总长度；接着利用线段中点的性质，分别求出AD和AE的长度，最后通过AE与AD的差即可得到DE的长。
(2) 判断B是否为DE的中点，只需验证DB和BE的长度是否相等：先结合已知条件分别算出DB、BE的长度，若二者相等则B是线段DE的中点，否则不是。
【解析】
(1) 因为$AB=3$，$BC=2AB$，
所以$BC=6$，$AC=AB+BC=3+6=9$。
因为$D$是$AB$的中点，$E$是$AC$的中点，
所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$，$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{9}{2}$，
所以$DE=AE-AD=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3$。
(2) $B$是线段$DE$的中点。理由如下：
因为$AE=\frac{9}{2}$，$AB=3$，
所以$BE=AE-AB=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$。
因为$D$是$AB$的中点，所以$DB=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$，
所以$DB=BE$，所以$B$是线段$DE$的中点。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{是}$，理由：$DB=BE=\frac{3}{2}$，因此B是线段DE的中点。
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础常考题，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质，理清各线段之间的数量关系，结合线段的和差运算即可求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先注意“C是直线AB上一点”，直线可无限延伸，因此点C的位置不唯一，需分两种情况讨论：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上（若C在BA延长线上则BC＞AC，与AC:BC=7:2矛盾，无需考虑）。接下来对每种情况，结合AC:BC=7:2设参数，再根据线段的和差关系列方程求解，最后汇总结果即可，避免漏解。
【解析】
∵ C是直线AB上一点，AC:BC=7:2，因此分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB上时，满足$AC + BC = AB$。
设$AC=7k$，$BC=2k$（$k＞0$），代入$AB=9$得：
$7k + 2k = 9$
解得$k=1$，
∴ $AC=7×1=7$。
2. 当点C在线段AB的延长线上时，满足$AC - BC = AB$。
设$AC=7k$，$BC=2k$（$k＞0$），代入$AB=9$得：
$7k - 2k = 9$
解得$k=\frac{9}{5}$，
∴ $AC=7×\frac{9}{5}=\frac{63}{5}$。
综上，AC的长为7或$\frac{63}{5}$。
【答案】
$7$或$\frac{63}{5}$
【知识点】
线段和差计算、分类讨论思想、比例的应用
【点评】
本题的易错点是忽略点C在线段AB延长线上的情况，仅考虑C在线段AB上导致漏解，解题时遇到“直线上的点”这类描述时，要注意分析点的所有可能位置，分类讨论求解。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 首先根据线段中点的定义，由B是CD中点、BC的长度求出CD的长度，再利用线段和差关系AC=AD-CD，代入已知AD的长度即可求出AC的长。
(2) 已知点E在直线AD上，直线可向两端无限延伸，因此E的位置有两种情况：①E在线段AD上；②E在线段DA的延长线上，针对两种情况分别结合线段的和差关系计算BE的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 因为$B$为$CD$的中点，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
所以$CD=2BC=8\ \mathrm{cm}$。
因为$AD=15\ \mathrm{cm}$，
所以$AC=AD-CD=15-8=7(\mathrm{cm})$。
(2) 由B为CD中点可得$BD=BC=4\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 如答图①，若点$E$在线段$AD$上，则$BE=AD-AE-BD=15-4-4=7(\mathrm{cm})$；
② 如答图②，若点$E$在线段$DA$的延长线上，则$BE=AD+AE-BD=15+4-4=15(\mathrm{cm})$。
综上，$BE$的长为$7\ \mathrm{cm}$或$15\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $AC$的长为$7\ \mathrm{cm}$；
(2) $BE$的长为$7\ \mathrm{cm}$或$15\ \mathrm{cm}$。

【知识点】
线段中点的定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的典型题，解题核心是熟练运用线段中点的性质和线段和差关系，需要注意“点在直线上”的条件，考虑点的所有可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7

【分析】
已知A、B、C三点共线，但未明确点C的位置，因此需分两种情况讨论：①点C在线段AB之间；②点C在线段AB的延长线上。解题时先根据线段中点的性质，分别得到BM与AB、BN与BC的数量关系，再结合对应情况下MN与BM、BN的和差关系，代入已知长度计算即可。
【解析】
分两种情况求解：
① 若点C在点A、B之间，如答图①所示：

∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴$BM=\frac{1}{2}AB$，$BN=\frac{1}{2}BC$。
此时$MN=BM-BN$，
代入数值计算得：$MN=\frac{1}{2}(AB-BC)=\frac{1}{2}×(60-40)=10$。
② 若点C在线段AB的延长线上，如答图②所示：

∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴$BM=\frac{1}{2}AB$，$BN=\frac{1}{2}BC$。
此时$MN=MB+BN$，
代入数值计算得：$MN=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}×(60+40)=50$。
综上，MN的长为10或50。
【答案】
MN的长为10或50。
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常考题型，解题时需要注意三点共线时点的位置的不确定性，通过分类讨论避免漏解，同时要熟练运用线段中点的性质转化线段的数量关系。
【难度系数】
0.6