8. 如图,点A,O,D在同一条直线上,此图中大于$0°$且小于$180°$的角的个数是 (
C
)
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：8.C
解析：
【分析】
解题时首先明确题目要求：需找出大于0°且小于180°的角，因此平角∠AOD不符合要求需排除。数角时要按照固定顺序计数，避免漏数或重复：我们可以按射线的顺序，依次以每条射线为起始边，寻找和其他射线组成的符合条件的角，最后统计总数即可。
【解析】
图中共有4条射线：OA、OB、OC、OD，已知A、O、D共线，故∠AOD=180°，不符合条件，不纳入统计。
按顺序计数符合要求的角：
1. 以OA为起始边：可组成∠AOB、∠AOC，共2个；
2. 以OB为起始边：可组成∠BOC、∠BOD，共2个；
3. 以OC为起始边：可组成∠COD，共1个。
总计符合条件的角有2+2+1=5个。
【答案】
C
【知识点】
角的概念；角的计数；平角的特征
【点评】
本题考查角的计数，核心解题技巧是按固定顺序计数，避免漏数、多数，同时要注意结合题目的限制条件排除不符合要求的角，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
9.(2025·宿迁宿城区期末)如图是一副特制的三角尺,仅用这副特制的三角尺不能画出的角度是（
B
）
A.$84°$
B.$68°$
C.$48°$
D.$24°$
答案：9.B
解析：
【分析】
首先我们需要先明确这两个特制三角尺各自的内角度数，左边三角尺的内角分别是30°、60°、90°，右边三角尺的内角分别是36°、72°、72°。仅用这副三角尺能画出的角度，都可以表示为这几个角度的和或者差，所以我们只需要逐一验证四个选项的角度是否能由上述角度相加或相减得到即可。
【解析】
首先列出两个三角尺的所有可用内角度数：30°，60°，90°，36°，72°。
逐一分析选项：
选项A：$84° = 90° - (36° - 30°) = 90° -6°$，可以画出；
选项B：68°无法通过上述几个角度的和或差得到，不能画出；
选项C：$48° = 36° + (72° - 60°) = 36° +12°$，可以画出；
选项D：$24° = 60° - 36°$，可以画出。
【答案】
B
【知识点】
角的和差运算，三角板角度应用
【点评】
本题解题核心是明确可用的基础角度，通过角度的加减运算逐一验证选项，解题时注意不要遗漏角度间和、差的不同组合情况。
【难度系数】
0.7
10.如图,图中线段的条数为$a$,角(不包括平角)的个数为$b$,则$(a-b)^3=$
-27
.
答案：10.-27
解析：
【分析】
要解决这道题，我们需要先分别求出线段总条数$a$和不包含平角的角的总个数$b$，再代入计算$(a-b)^3$即可。解题时分类计数可以避免漏数、重复：①数线段时，先数顶点A连到底边的线段，再数底边BF上的线段，求和得到$a$；②数角时，先数顶点在A处的角，再数底边上每个顶点处的非平角，求和得到$b$，最后代入计算。
【解析】
1. 计算线段总条数$a$：
从顶点A出发的线段有AB、AC、AD、AE、AF，共5条；
底边BF上有B、C、D、E、F共5个点，线段条数为$4+3+2+1=10$条；
总线段数$a=5+10=15$。
2. 计算非平角的总个数$b$：
顶点在A处的射线有AB、AC、AD、AE、AF共5条，组成的非平角个数为$4+3+2+1=10$个；
底边上各顶点的非平角：B点1个，C点2个，D点2个，E点2个，F点1个，共$1+2+2+2+1=8$个；
总角数$b=10+8=18$。
3. 计算代数式的值：
$a-b=15-18=-3$，故$(a-b)^3=(-3)^3=-27$。
【答案】
$-27$
【知识点】
线段计数，角的计数，有理数乘方
【点评】
本题解题关键是分类计数线段和角，计数时要做到不重不漏，同时注意题目限定角不包含平角，审题要细致。
【难度系数】
0.6
11.(2025·南通如东县期末)已知$∠ AOB=81°$,以OB为边画$∠ BOC=34°$,则$∠ AOC$的度数是
47°或115°
.
答案：11.47°或115°
解析：
【分析】
本题没有明确说明∠BOC的位置，因此需要分两种情况讨论：第一种是OC落在∠AOB的内部，第二种是OC落在∠AOB的外部，再结合角的和差关系分别计算∠AOC的度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当OC在∠AOB内部时，根据角的差的关系可得：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 81° - 34° = 47°$
2. 当OC在∠AOB外部时，根据角的和的关系可得：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 81° + 34° = 115°$
综上，$∠ AOC$的度数为$47°$或$115°$。
【答案】
$47°$或$115°$
【知识点】
角的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略角位置的不确定性，仅考虑其中一种情况导致漏解，遇到未明确角位置的题目时，要全面分析所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.7
12.计算：
(1)$25°16'+45°38'$；
(2)$35°46'-18°29'$；
(3)$36°35'×3$；
(4)$36°15'÷2$；
(5)$(36°15'24''+13°21'54'')×3$；
(6)$(180°-91°32'24'')÷2$。
答案：12.解:(1)原式$=70°54'$.
(2)原式$=17°17'$.
(3)原式$=108°105'=109°45'$.
(4)原式$=18°7'30''$.
(5)原式$=49°37'18''×3=147°111'54''=148°51'54''$.
(6)原式$=88°27'36''÷2=44°13'48''$.
解析：
【分析】
角度的度量单位度、分、秒是60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，解题时按运算规则分步处理：1.加减运算：同单位的数值分别相加减，相加时若某一级单位的结果≥60，就向上一级单位进1；相减时若某一级单位的数值不够减，就向上一级单位借1当作60再减。2.乘除运算：乘法分别用乘数乘度、分、秒的数值，每一级满60向上一级进1；除法从高到低依次除，上一级除不尽的余数换算为下一级单位，和下一级的数值合并后继续除；有括号的先算括号内的运算。
【解析】
(1) 分别计算度、分的和：
$25°+45°=70°$，$16'+38'=54'$，
所以原式$=70°54'$。
(2) 分别计算度、分的差：
$35°-18°=17°$，$46'-29'=17'$，
所以原式$=17°17'$。
(3) 分别用3乘度、分的数值：
$36°×3=108°$，$35'×3=105'$，
$\because 105'=1°45'$，
$\therefore$ 原式$=108°+1°45'=109°45'$。
(4) 从高到低依次除以2：
$36°÷2=18°$，
$15'÷2=7'$余$1'$，将$1'$换算为$60''$，
$60''÷2=30''$，
所以原式$=18°7'30''$。
(5) 先计算括号内的加法：
$36°15'24''+13°21'54''=(36°+13°)+(15'+21')+(24''+54'')=49°+36'+78''$，
$\because 78''=1'18''$，
$\therefore$ 括号内结果$=49°+(36'+1')+18''=49°37'18''$，
再计算乘法：
$49°×3=147°$，$37'×3=111'$，$18''×3=54''$，
$\because 111'=1°51'$，
$\therefore$ 原式$=147°+1°51'+54''=148°51'54''$。
(6) 先计算括号内的减法：
将$180°$换算为$179°59'60''$，
$179°59'60''-91°32'24''=(179°-91°)+(59'-32')+(60''-24'')=88°27'36''$，
再计算除法：
$88°÷2=44°$，$27'÷2=13'$余$1'$，将$1'$换算为$60''$，
$(60''+36'')÷2=48''$，
所以原式$=44°13'48''$。
【答案】
(1)$70°54'$；(2)$17°17'$；(3)$109°45'$；(4)$18°7'30''$；(5)$148°51'54''$；(6)$44°13'48''$
【知识点】
度分秒的换算，角度的加减运算，角度的乘除运算
【点评】
本题重点考查度分秒的四则运算，核心是熟练掌握度分秒的60进制换算规则，运算时注意进位、借位的处理，是角度度量的基础题型，掌握后可为后续几何中角度相关的计算奠定基础。
【难度系数】
0.7
13.(1)写出图中所有的角(不包括平角)；
(2)用量角器测量∠A,∠B,∠ACD的度数；
(3)通过测量,请你写出(2)中三个角的数量关系。
答案：13.解:(1)题图中有 4 个角:∠A,∠B,∠ACB,∠ACD.
(2)$∠A=56°,∠B=57°,∠ACD=113°$.
(3)$∠A+∠B=∠ACD$.
解析：
【分析】
(1)找角时可按顶点逐个排查：先看顶点A、顶点B各有1个角，再看顶点C，排除平角∠BCD后有2个角，汇总后即可得到所有符合要求的角；
(2)测量角时遵循量角器的使用规则：将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边对应的刻度就是角的度数，依次测量三个角即可；
(3)计算∠A与∠B的度数和，将结果和∠ACD的度数对比，就能得到三者的数量关系。
【解析】
(1)按顶点枚举不包含平角的角：顶点A处有∠A，顶点B处有∠B，顶点C处有∠ACB、∠ACD，因此符合要求的角共4个；
(2)使用量角器规范测量，分别读取三个角对应的刻度即可得到三个角的度数；
(3)计算∠A+∠B的和，对比∠ACD的度数，即可得出三者的数量关系。
【答案】
(1)∠A,∠B,∠ACB,∠ACD；
(2)$∠A=56°,∠B=57°,∠ACD=113°$；
(3)$∠A+∠B=∠ACD$。
【知识点】
角的识别，角的度量，角的和差计算
【点评】
本题是角的基础应用类题目，从角的识别、测量到规律探究，逐步考查角的相关基础技能，掌握角的基础概念和量角器的使用方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
14.如图,由一个公共端点引出的2条射线形成了1个角;由一个公共端点引出的3条射线形成了3个角;由一个公共端点引出的4条射线形成了6个角;…;由一个公共端点引出的n条射线形成多少个角?(注:图中最大的角为钝角)
答案：14.解:由一个公共端点引出的 n 条射线,一共形成的角的个数为 $1+2+3+4+5+\dots+n-1=\frac{n(n-1)}{2}$.
解析：
【分析】
我们可以从题目给出的特殊情况入手找规律：首先明确每两条有公共端点的射线可组成1个角，计数时要避免重复。当有2条射线时，仅能组成1个角；3条射线时，第1条射线和剩下2条分别组成2个角，第2条射线和除第1条外的剩下1条组成1个角，相加共3个；4条射线时，同理依次组合可得1+2+3=6个角。以此类推，n条射线时，把每条射线和其他射线组合的不重复的角的个数相加，再用连续整数求和公式计算即可得到结果。
【解析】
解：观察已知的计数规律：
公共端点引出2条射线时，角的个数：$1 = 1$
公共端点引出3条射线时，角的个数：$3 = 1+2$
公共端点引出4条射线时，角的个数：$6 = 1+2+3$
……
由此归纳可得，公共端点引出$n$条射线时，角的个数是从1开始连续加到$n-1$的和：
$1+2+3+\dots+(n-1)$
根据连续整数求和规则（首项加末项的和乘项数除以2）计算：
$1+2+3+\dots+(n-1) = \frac{(1 + n - 1) × (n - 1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$
【答案】
$\frac{n(n-1)}{2}$个
【知识点】
角的计数，规律探究，代数式化简
【点评】
本题属于规律探究类基础题，采用从特殊到一般的归纳思路推导角的计数公式，解题时需注意计数时不重复不遗漏，熟练掌握连续正整数求和的计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
