三、解答题(共50分)
11.(10分)已知一个锐角的余角比这个锐角的补角的$\frac{1}{2}$小$20°$,求这个锐角的度数.
答案：11.解:设这个锐角为$x°$.
根据题意,得$90-x=\frac{1}{2}(180-x)-20$,解得$x=40$,
故这个锐角为$40°$.
12.(10分)如图，直线AB，CD相交于点O，$∠ BOE=36°$，$∠ EOF=54°$，$∠ DOF=90°$.
(1)OE是$∠ BOD$的平分线吗？为什么？
(2)求$∠ AOD$的度数.
答案：12.解:(1)OE是$∠BOD$的平分线.理由如下：
因为$∠EOF=54°,∠DOF=90°$,
所以$∠DOE=∠DOF-∠EOF=90°-54°=36°$.
又因为$∠BOE=36°$,所以$∠BOE=∠DOE$,
所以OE是$∠BOD$的平分线.
(2)因为$∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°$,
所以$∠AOD=180°-∠DOE-∠BOE=180°-36°-36°=108°$.
13.(15分)如图，A,O,B三点在同一条直线上，$∠ BOD$与$∠ BOC$互补.
(1)$∠ AOC$与$∠ BOD$相等吗？请说明理由.
(2)已知OM平分$∠ AOC$，射线ON在$∠ COD$的内部，且满足$∠ AOC$与$∠ MON$互余.
①若$∠ AOC=32°$，求$∠ MON$的度数；
②试探究$∠ AON$与$∠ DON$之间的数量关系，请写出结论并说明理由.
答案：13.解:(1)$∠AOC=∠BOD$.理由如下：
因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，
所以$∠BOD+∠BOC=180°$.
因为$∠AOC+∠BOC=180°$,所以$∠AOC=∠BOD$.
(2)①因为$∠AOC$与$∠MON$互余，
所以$∠MON=90°-∠AOC=90°-32°=58°$.
②$∠AON=∠DON$.理由如下：
如答图.
因为OM平分$∠AOC$,
所以$∠AOC=2∠AOM,∠COM=∠AOM$.
因为$∠AOC$与$∠MON$互余，
所以$∠AOC+∠MON=90°$,
所以$∠AON=90°-∠AOM$,
所以$∠CON=∠AON-∠AOC=90°-3∠AOM$.
因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，
所以$∠BOD+∠BOC=180°$,
所以$∠CON+∠DON+2∠BOD=180°$.
又因为$∠BOD=∠AOC=2∠AOM$,
所以$∠DON=180°-∠CON-2∠BOD$
$=180°-(90°-3∠AOM)-4∠AOM$
$=90°-∠AOM$,
所以$∠AON=∠DON$.
14.(15分)(1)如图①,图中共有
2
对对顶角;如图②,图中共有
6
对对顶角;如图③,图中共有
12
对对顶角.
(2)猜想:若有n条直线相交于一点,则可形成
$n(n-1)$
对对顶角;
(3)若有2026条直线相交于一点,则可形成
4102650
对对顶角.
答案：14.(1)2 6 12 (2)$n(n-1)$ (3)4102650
