【分析】
(1) 判断∠AOC与∠BOD是否相等，可利用补角的性质推导：已知A、O、B在同一直线上，可得∠AOC与∠BOC的和为平角180°，即二者互补；题目给出∠BOD与∠BOC互补，根据“同角的补角相等”即可得出两角相等的结论。
(2) ① 已知∠AOC与∠MON互余，根据互余的定义（两个角的和为90°），直接用90°减去∠AOC的度数即可求出∠MON的度数。
② 探究∠AON与∠DON的数量关系，首先利用角平分线的性质将∠AOC转化为2∠AOM，再结合∠AOC与∠MON互余的条件表示出∠AON；之后结合第一问得到的∠BOD=∠AOC，利用平角为180°的性质表示出∠DON，对比两个角的表达式即可得出数量关系。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠AOC=∠BOD}$，理由如下：
因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，所以$∠BOD+∠BOC=180°$。
又因为A、O、B三点在同一条直线上，所以$∠AOC+∠BOC=180°$，根据同角的补角相等，可得$∠AOC=∠BOD$。
(2) ① 因为$∠AOC$与$∠MON$互余，所以$∠AOC+∠MON=90°$，
代入$∠AOC=32°$，可得$∠MON=90°-∠AOC=90°-32°=58°$。
② $\boldsymbol{∠AON=∠DON}$，理由如下：
如答图：
因为OM平分$∠AOC$，所以$∠AOC=2∠AOM$，且$∠COM=∠AOM$。
因为$∠AOC$与$∠MON$互余，所以$∠AOC+∠MON=90°$，
因此$∠AON=∠AOM+∠MON=∠AOM+(90°-∠AOC)=∠AOM+90°-2∠AOM=90°-∠AOM$。
进而可得$∠CON=∠AON-∠AOC=90°-∠AOM-2∠AOM=90°-3∠AOM$。
因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，所以$∠BOD+∠BOC=180°$，
而$∠BOC=∠BOD+∠COD=∠BOD+∠CON+∠DON$，代入得$∠CON+∠DON+2∠BOD=180°$。
由(1)可知$∠BOD=∠AOC=2∠AOM$，代入上式：
$∠DON=180°-∠CON-2∠BOD=180°-(90°-3∠AOM)-2×2∠AOM=180°-90°+3∠AOM-4∠AOM=90°-∠AOM$。
因此$∠AON=∠DON$。
【答案】
(1) $∠AOC=∠BOD$，理由如下：
因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，
所以$∠BOD+∠BOC=180°$。
因为$∠AOC+∠BOC=180°$,所以$∠AOC=∠BOD$。
(2)①$∠MON=58°$；
②$∠AON=∠DON$，理由如下：
如答图：
因为OM平分$∠AOC$,
所以$∠AOC=2∠AOM,∠COM=∠AOM$。
因为$∠AOC$与$∠MON$互余，
所以$∠AOC+∠MON=90°$,
所以$∠AON=90°-∠AOM$,
所以$∠CON=∠AON-∠AOC=90°-3∠AOM$。
因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，
所以$∠BOD+∠BOC=180°$,
所以$∠CON+∠DON+2∠BOD=180°$。
又因为$∠BOD=∠AOC=2∠AOM$,
所以$∠DON=180°-∠CON-2∠BOD$
$=180°-(90°-3∠AOM)-4∠AOM$
$=90°-∠AOM$,
所以$∠AON=∠DON$。
【知识点】
补角的性质，余角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了角的相关基础性质，涉及补角、余角、角平分线等核心知识点，解题的关键是结合图形梳理清楚各角之间的和差关系，熟练运用相关定义和性质进行推导，能有效考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
