5.(2025·宿迁宿城区联考)如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O,OF平分∠AOC.若∠COE=2∠EOF,求∠COB的度数.
答案：5.解:设∠COB=x°,由OE⊥AB,得∠COE=90°−x°，
∠AOC=180°−x°.
因为OF平分∠AOC,所以∠COF = $\frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}(180°−x°)$, 所以 $∠EOF = ∠COF − ∠COE = \frac{1}{2}(180°−x°)−(90°−x°)=\frac{1}{2}x°$.
因为∠COE=2∠EOF,所以90°−x°=2×$\frac{1}{2}x°$,
解得x=45,所以∠COB=45°.
解析：
【分析】
我们可以采用设未知数列方程的思路解题：首先由OE⊥AB可知∠BOE=90°，∠AOC与∠COB是邻补角，两角和为180°；再结合OF平分∠AOC，可得出∠COF与∠AOC的数量关系。我们设∠COB的度数为x，用x分别表示出∠COE、∠COF，进而推导得到∠EOF的表达式，最后根据题目给出的∠COE=2∠EOF的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设∠COB=x°，
∵OE⊥AB，垂足为O，
∴∠BOE=90°，则∠COE=90°−x°，
∵∠AOC与∠COB互为邻补角，
∴∠AOC=180°−x°，
∵OF平分∠AOC，
∴$∠ COF=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(180°-x°)$，
∴$∠ EOF=∠ COF-∠ COE=\frac{1}{2}(180°-x°)-(90°-x°)=\frac{1}{2}x°$，
根据题意∠COE=2∠EOF，代入得：
$90°-x°=2×\frac{1}{2}x°$
解得x=45
即∠COB=45°。
【答案】
45°
【知识点】
垂线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是几何角度计算的常规题型，将方程思想融入几何运算中，解题的核心是准确梳理各角之间的数量关系，根据题干给出的等量关系列方程求解，熟练掌握基础几何概念是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
6. 如图，射线OC，OD在$∠ AOB$的内部，且$∠ AOC:∠ COD:∠ DOB=2:3:4$，射线OM平分$∠ AOC$，射线ON平分$∠ BOD$.
(1)若$∠ AOB=144°$，求$∠ COM$的度数；
(2)若$OM⊥ ON$，求$∠ COD$的度数.
答案：6.解:设∠AOC=2x,则∠COD=3x,∠DOB=4x.
(1)因为∠AOB=144°,所以2x+3x+4x=144°,
解得x=16°，
所以∠AOC=2x=32°.
因为OM平分∠AOC,所以∠COM=$\frac{1}{2}∠AOC=16°$.
(2)因为OM平分∠AOC,ON平分∠DOB，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}∠AOC=x,∠NOD=\frac{1}{2}∠BOD=2x$，
所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=x+3x+2x=6x.
因为OM⊥ON,所以∠MON=90°，
所以6x=90°,解得x=15°,所以∠COD=45°.
解析：
【分析】
遇到角的比例关系问题，可通过设参数的方法将各角用含同一未知数的式子表示，再结合已知条件列方程求解。(1)先根据∠AOC:∠COD:∠DOB的比例设三个角分别为2x、3x、4x，利用三个角的和为∠AOB的度数列方程求出x，再结合角平分线的性质即可求出∠COM的度数；(2)先根据角平分线的性质用x表示出∠MOC和∠NOD，再将∠MON表示为这两个角与∠COD的和，结合OM⊥ON即∠MON=90°列方程求出x，进而得到∠COD的度数。
【解析】
设$∠ AOC=2x$，则$∠ COD=3x$，$∠ DOB=4x$。
(1) 因为$∠ AOB=∠ AOC+∠ COD+∠ DOB=144°$，
所以$2x+3x+4x=144°$，
解得$x=16°$，
所以$∠ AOC=2x=32°$。
因为OM平分$∠ AOC$，
所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×32°=16°$。
(2) 因为OM平分$∠ AOC$，ON平分$∠ DOB$，
所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=x$，$∠ NOD=\frac{1}{2}∠ BOD=2x$，
所以$∠ MON=∠ MOC+∠ COD+∠ DON=x+3x+2x=6x$。
因为$OM⊥ ON$，所以$∠ MON=90°$，
所以$6x=90°$，解得$x=15°$，
所以$∠ COD=3x=3×15°=45°$。
【答案】
(1) $\boxed{16°}$；(2) $\boxed{45°}$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题是角的计算的常规题型，通过设参数将比例关系转化为代数式是解题的常用技巧，解题时需准确梳理各角之间的和差关系，熟练运用角平分线、垂直的相关性质。
【难度系数】
0.7
7.如图，O为直线AB上一点，$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ BOC$，OC平分$∠ AOD$.试判断OD与AB的位置关系，并说明理由.
第7题图
答案：7.解:OD⊥AB.理由如下：
因为O为直线AB上一点,所以∠AOC+∠BOC=180°.
又因为∠AOC=$\frac{1}{3}∠BOC$，
所以设∠AOC=x°,则∠BOC=(3x)°，
所以x+3x=180,解得x=45,所以∠AOC=45°.
因为OC平分∠AOD,所以∠AOD=2∠AOC=90°，
所以OD⊥AB.
解析：
【分析】
要判断OD与AB的位置关系，首先可猜测为垂直，而垂直的判定依据是两条直线的夹角为90°，因此我们的目标是证明∠AOD=90°。解题可按以下思路展开：第一步，利用直线AB为平角的性质，得到∠AOC与∠BOC的和为180°，结合题目给出的两个角的倍数关系，计算出∠AOC的度数；第二步，根据OC平分∠AOD的条件，得到∠AOD是∠AOC的2倍，计算出∠AOD的度数，若等于90°即可判定OD垂直AB。
【解析】
OD⊥AB，理由如下：
∵O为直线AB上一点，根据平角的定义，
∴∠AOC + ∠BOC = 180°。
又
∵∠AOC = $\frac{1}{3}$∠BOC，设∠AOC = x°，则∠BOC = 3x°，
代入得：$x+3x=180$，解得$x=45$，即∠AOC = 45°。
∵OC平分∠AOD，根据角平分线的定义，
∴∠AOD = 2∠AOC = $2×45°=90°$，
根据垂直的定义，可得OD⊥AB。
【答案】
OD⊥AB
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，垂直的判定
【点评】
本题是与垂线判定相关的基础计算题，解题时需要结合角度的和差倍分关系、角平分线性质推导目标角的度数，核心是通过中间角∠AOC搭建已知条件和待证结论之间的桥梁。
【难度系数】
0.8
8.如图，O是直线AB上一点，$∠ AOC=40°$，OD平分$∠ AOC$，$∠ COE=70°$.
(1)试说明：$DO⊥ OE$；
(2)OE平分$∠ BOC$吗？为什么？
答案：8.解:(1)因为∠AOC=40°,OD平分∠AOC，
所以∠DOC=$\frac{1}{2}∠AOC=20°$.
因为∠COE=70°，
所以∠DOE=∠DOC+∠COE=20°+70°=90°，
所以DO⊥OE.
(2)OE平分∠BOC.
理由:因为∠AOC+∠COE+∠BOE=180°,
∠AOC=40°,∠COE=70°，
所以∠BOE=70°,所以∠BOE=∠COE，
所以OE平分∠BOC.
解析：
【分析】
(1)要证明DO⊥OE，根据垂直的定义，只需要证明∠DOE=90°即可。已知OD平分∠AOC，可先求出∠DOC的度数，再和已知的∠COE求和，就能得到∠DOE的度数，判断是否为90°即可完成证明。
(2)要判断OE是否平分∠BOC，根据角平分线的定义，只需验证∠BOE和∠COE是否相等即可。利用平角为180°的性质，结合已知的∠AOC、∠COE的度数，计算出∠BOE的度数，和∠COE对比就能得出结论。
【解析】
(1)因为∠AOC=40°，OD平分∠AOC，
所以$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
又因为∠COE=70°，
所以$∠ DOE=∠ DOC+∠ COE=20°+70°=90°$，
所以$DO⊥ OE$。
(2)OE平分∠BOC，理由如下：
因为O是直线AB上一点，$∠ AOB=180°$，即$∠ AOC+∠ COE+∠ BOE=180°$，
已知∠AOC=40°，∠COE=70°，
所以$∠ BOE=180°-40°-70°=70°$，
所以$∠ BOE=∠ COE$，
所以OE平分∠BOC。
【答案】
(1) $DO⊥ OE$，得证；
(2) OE平分$∠ BOC$，理由见解析。
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；垂直的判定
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，围绕角的和差计算、角平分线和垂直的判定设置问题，解题的核心是熟练掌握相关定义，准确完成角度的运算。
【难度系数】
0.85
