5.(2025·宿迁宿城区联考)如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O,OF平分∠AOC.若∠COE=2∠EOF,求∠COB的度数.
答案：5.解:设∠COB=x°,由OE⊥AB,得∠COE=90°−x°，
∠AOC=180°−x°.
因为OF平分∠AOC,所以∠COF = $\frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}(180°−x°)$, 所以 $∠EOF = ∠COF − ∠COE = \frac{1}{2}(180°−x°)−(90°−x°)=\frac{1}{2}x°$.
因为∠COE=2∠EOF,所以90°−x°=2×$\frac{1}{2}x°$,
解得x=45,所以∠COB=45°.
6. 如图，射线OC，OD在$∠ AOB$的内部，且$∠ AOC:∠ COD:∠ DOB=2:3:4$，射线OM平分$∠ AOC$，射线ON平分$∠ BOD$.
(1)若$∠ AOB=144°$，求$∠ COM$的度数；
(2)若$OM⊥ ON$，求$∠ COD$的度数.
答案：6.解:设∠AOC=2x,则∠COD=3x,∠DOB=4x.
(1)因为∠AOB=144°,所以2x+3x+4x=144°,
解得x=16°，
所以∠AOC=2x=32°.
因为OM平分∠AOC,所以∠COM=$\frac{1}{2}∠AOC=16°$.
(2)因为OM平分∠AOC,ON平分∠DOB，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}∠AOC=x,∠NOD=\frac{1}{2}∠BOD=2x$，
所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=x+3x+2x=6x.
因为OM⊥ON,所以∠MON=90°，
所以6x=90°,解得x=15°,所以∠COD=45°.
7.如图，O为直线AB上一点，$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ BOC$，OC平分$∠ AOD$.试判断OD与AB的位置关系，并说明理由.
第7题图
答案：7.解:OD⊥AB.理由如下：
因为O为直线AB上一点,所以∠AOC+∠BOC=180°.
又因为∠AOC=$\frac{1}{3}∠BOC$，
所以设∠AOC=x°,则∠BOC=(3x)°，
所以x+3x=180,解得x=45,所以∠AOC=45°.
因为OC平分∠AOD,所以∠AOD=2∠AOC=90°，
所以OD⊥AB.
8.如图，O是直线AB上一点，$∠ AOC=40°$，OD平分$∠ AOC$，$∠ COE=70°$.
(1)试说明：$DO⊥ OE$；
(2)OE平分$∠ BOC$吗？为什么？
答案：8.解:(1)因为∠AOC=40°,OD平分∠AOC，
所以∠DOC=$\frac{1}{2}∠AOC=20°$.
因为∠COE=70°，
所以∠DOE=∠DOC+∠COE=20°+70°=90°，
所以DO⊥OE.
(2)OE平分∠BOC.
理由:因为∠AOC+∠COE+∠BOE=180°,
∠AOC=40°,∠COE=70°，
所以∠BOE=70°,所以∠BOE=∠COE，
所以OE平分∠BOC.
