7.(2025·宿迁泗洪县期末)如图，$AE// CF$，$∠ A=∠ C$.
(1)若$∠ 1=35°$，求$∠ 2$的度数；
(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由.
答案：7.解:(1)因为$AE// CF$,
所以$∠ CDB=∠ ABD=∠ 1=35°$,
所以$∠ 2=180°-∠ CDB=180°-35°=145°$.
(2)$AD// BC$.理由如下：
因为$AE// CF$,所以$∠ C+∠ ABC=180°$.
又因为$∠ A=∠ C$,所以$∠ A+∠ ABC=180°$,
所以$AD// BC$.
解析：
【分析】
(1) 求∠2的度数时，先观察角的位置关系：∠2与∠CDB互为邻补角，只要算出∠CDB的度数就能求出∠2。已知AE//CF，根据平行线的内错角相等性质，可得∠ABD=∠CDB；再由对顶角相等可知∠1=∠ABD，代入∠1的度数即可得到∠CDB的度数，进而求出∠2。
(2) 判断AD和BC的位置关系，可通过平行线的判定定理推导：先利用AE//CF的性质得到∠C与∠ABC互补，再结合已知∠A=∠C，等量代换得到∠A与∠ABC互补，根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得出AD与BC的位置关系。
【解析】
(1) 解：$\because AE// CF$
$\therefore ∠ CDB=∠ ABD$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ 1$与$∠ ABD$是对顶角
$\therefore ∠ ABD=∠ 1=35°$（对顶角相等）
$\therefore ∠ CDB=35°$
$\because ∠ 2$与$∠ CDB$互为邻补角
$\therefore ∠ 2=180°-∠ CDB=180°-35°=145°$
(2) $AD// BC$，理由如下：
$\because AE// CF$
$\therefore ∠ C+∠ ABC=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
又$\because ∠ A=∠ C$
$\therefore ∠ A+∠ ABC=180°$（等量代换）
$\therefore AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行）
【答案】
(1) $∠ 2=145°$；(2) $AD// BC$
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；邻补角与对顶角
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，需要熟练掌握平行线的性质和判定定理，能准确识别图形中的角的位置关系，完成角度的等量转换即可解题，是平行线章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.8
8.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,BD平分∠ABC,∠A=2∠ABC,∠C=∠ABC.
(1)求∠ADB的度数;
(2)线段BD与DC有怎样的位置关系?请说明理由.
答案：8.解:(1)因为$AD// BC$,所以$∠ A+∠ ABC=180°$.
又因为$∠ A=2∠ ABC$,所以$2∠ ABC+∠ ABC=180°$,
所以$∠ ABC=60°$.
因为BD平分$∠ ABC$,
所以$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$.
因为$AD// BC$,所以$∠ ADB=∠ DBC=30°$.
(2)$BD⊥ DC$.理由如下：
因为$∠ C=∠ ABC=60°$,$∠ DBC=30°$,
所以$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=90°$,
所以$BD⊥ DC$.
解析：
【分析】
（1）求解∠ADB的度数时，首先利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合已知∠A和∠ABC的数量关系，先计算出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数；最后再次利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，即可得到∠ADB的度数。
（2）判断BD与DC的位置关系时，可通过计算△BDC中∠BDC的度数推导：已知∠C=∠ABC，结合第一问算出的∠ABC和∠DBC的度数，利用三角形内角和为180°计算∠BDC的度数，若∠BDC为90°即可证明两线段垂直。
【解析】
(1) 因为$AD// BC$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠A+∠ABC=180°$。
又因为$∠A=2∠ABC$，代入得$2∠ABC+∠ABC=180°$，
解得$∠ABC=60°$。
因为BD平分$∠ABC$，根据角平分线的定义，
所以$∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，
所以$∠ADB=∠DBC=30°$。
(2) $BD⊥ DC$，理由如下：
由题知$∠C=∠ABC=60°$，且已求得$∠DBC=30°$，
在$△ BDC$中，根据三角形内角和为$180°$，
可得$∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-30°-60°=90°$，
所以$BD⊥ DC$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$
(2) $\boxed{BD⊥ DC}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，侧重考查角的数量关系推导，解题时需要熟练运用平行线、角平分线、三角形内角和的相关性质，逐步推导所求角的度数即可解决问题。
【难度系数】
0.8
