9.(2025·宿迁泗洪县期中)我们平常用的十进制,如$2019=2×10^3+0×10^2+1×10^1+9$,表示十进制的数要用10个数码:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.在计算机中用的是二进制,只有两个数码:0,1.如二进制中$111=1×2^2+1×2^1+1$,相当于十进制中的7,又如$11011=1×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1$,相当于十进制中的27.那么十进制中的21相当于二进制中的（
A
）
A.$10101$
B.$11001$
C.$10111$
D.$10110$
答案：9.A
解析：
【分析】解题时首先读懂题目给出的二进制与十进制的转换规则：二进制数转十进制数，是将每一位数码乘对应位的2的幂次（从右往左，幂次从0开始依次递增）后求和。反过来要把十进制数转二进制数，先列出2的各次幂，找到不超过目标数的最大2的幂，依次判断每一位的数码是1还是0，最后按从高位到低位的顺序组合即可得到对应的二进制数。
【解析】先计算2的各次幂：$2^0=1$，$2^1=2$，$2^2=4$，$2^3=8$，$2^4=16$，$2^5=32$，由于$32＞21$，因此21对应的二进制数最高位是$2^4$对应的位。
将21拆分为2的幂次之和：
$21 = 1× 2^4 + 0× 2^3 + 1× 2^2 + 0× 2^1 +1× 2^0$
对应二进制数从高位到低位的各位数码依次为1、0、1、0、1，即二进制数$10101$，验证可知$10101$转换为十进制刚好是21，符合要求。
【答案】A
【知识点】有理数的乘方，进制转换
【点评】本题是新定义类题型，解题核心是读懂题目给出的进制转换规则，结合有理数乘方的计算能力完成数制的转换，侧重考察新知识迁移应用的能力。
【难度系数】0.7
10.(2025·宜兴期中)古代《易经》一书中记载，在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”。如图所示是那个时期的一族人记录他们从到达一个新地方以后捕获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一。根据图示可知，他们捕获猎物的数量是
558
。
答案：10.558
解析：
【分析】
这道题是“满七进一”的七进制计数问题，类比我们熟悉的十进制“满十进一”的规则，七进制每个数位的位权从右往左依次是$7^0$、$7^1$、$7^2$、$7^3$……。解题时先数出从右到左每根绳子上的结数，再分别乘以对应位权，最后求和就能得到十进制的猎物总数。
【解析】
根据“满七进一”的规则，该计数为七进制计数：
1. 数出从右到左每根绳子的结数：最右侧（最低位）有5个结，往左第二位有2个结，第三位有4个结，最左侧（最高位）有1个结。
2. 将七进制数转换为十进制数计算：
$\begin{aligned}&1×7^3 + 4×7^2 + 2×7^1 + 5×7^0\\=&1×343 + 4×49 + 2×7 + 5×1\\=&343 + 196 + 14 + 5\\=&558\end{aligned}$
【答案】
558
【知识点】
进位制转换，有理数的乘方
【点评】
本题结合传统文化考查进位制的理解和乘方的实际应用，解题的核心是理解“满七进一”的计数规则，明确不同位置对应的位权，结合乘方运算即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11.计算：
(1)$(-2)^2 -1 - (-3)^3$；
(2)$2×(-5)+2^3 -3÷\frac{1}{2}$；
(3)$(-2)^3 +2×(-3)$；
(4)$17 -2^3÷(-2)×3$；
(5)$-1^4 + (-2)^2 + (-2^2) + (-4^2) - (-4)^2$；
(6)$(-1\frac{3}{4})^2×\frac{8}{21} - (0.5 -1)^3 -1^5÷(-\frac{1}{2})^2$。
答案：11.解:(1)原式$=4-1-(-27)=3+27=30.$
(2)原式$=-10+8-6=-8.$
(3)原式$=-8+(-6)=-14.$
(4)原式$=17-8÷(-2)×3=17-(-4)×3=17-(-12)=17+12=29.$
(5)原式$=-1+4+(-4)+(-16)-16=-1+4-4-16-16=-33.$
(6)原式$=\dfrac{49}{16}×\dfrac{8}{21}-(-\dfrac{1}{2})^3-1÷\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{6}-(-\dfrac{1}{8})-4=\dfrac{7}{6}+\dfrac{1}{8}-4=-\dfrac{65}{24}.$
解析：
【分析】
解决这类有理数混合运算的题目，首先要牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次计算；如果有括号先算括号内的。其次要注意乘方运算的符号规则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；尤其要区分形如$-a^n$和$(-a)^n$的区别，前者是$a^n$的相反数，后者是$n$个$(-a)$相乘。计算过程中遇到带分数先化为假分数，除法运算转化为乘法运算，每一步注意符号判断，避免出错。
【解析】
(1) 先计算乘方，再按顺序计算加减：
原式$=4-1-(-27)=3+27=30$
(2) 先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减：
原式$=-10+8-6=-8$
(3) 先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法：
原式$=-8+(-6)=-14$
(4) 先计算乘方，再从左到右计算乘除，最后计算加减：
原式$=17-8÷(-2)×3=17-(-4)×3=17-(-12)=17+12=29$
(5) 先分别计算各个乘方项，再按顺序计算加减：
原式$=-1+4+(-4)+(-16)-16=-1+4-4-16-16=-33$
(6) 先把带分数化为假分数、计算各乘方项，再计算乘除，最后计算加减：
原式$=\dfrac{49}{16}×\dfrac{8}{21}-(-\dfrac{1}{2})^3-1÷\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{6}-(-\dfrac{1}{8})-4=\dfrac{7}{6}+\dfrac{1}{8}-4=-\dfrac{65}{24}$
【答案】
(1)$30$；(2)$-8$；(3)$-14$；(4)$29$；(5)$-33$；(6)$-\dfrac{65}{24}$
【知识点】
1.有理数乘方运算
2.有理数混合运算顺序
3.有理数四则运算
【点评】
本组题目是有理数混合运算的基础练习题，重点考察乘方运算的符号判定和运算顺序的掌握，易错点是混淆带负号的乘方的运算结果，计算时注意细节、仔细核对符号就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
12.定义新运算：$a\otimes b=a^2 - |b|$，例如，$3\otimes(-2)=3^2 - |-2|=9 - 2=7$.计算下列各式：
(1)$(-2)\otimes3$；
(2)$5\otimes(-4)$；
(3)$(-3)\otimes[0\otimes(-1)]$.
答案：12.解:(1)$(-2)\otimes3=(-2)^2-|3|=4-3=1.$
(2)$5\otimes(-4)=5^2-|-4|=25-4=21.$
(3)因为$0\otimes(-1)=0^2-|-1|=0-1=-1$,
所以$(-3)\otimes[0\otimes(-1)]=(-3)\otimes(-1)=(-3)^2-|-1|=9-1=8.$
解析：
【分析】
首先明确新运算$\otimes$的规则：运算符前的数作为底数计算平方，运算符后的数取绝对值，再用平方结果减去绝对值结果。计算时遵循常规运算顺序，有括号的先算括号内的运算，再算括号外的。代入数值时注意负数的平方为正数，绝对值结果为非负数，避免出现符号错误。
【解析】
(1) 根据新运算规则代入计算：
$(-2)\otimes3=(-2)^2-|3|=4-3=1$
(2) 根据新运算规则代入计算：
$5\otimes(-4)=5^2-|-4|=25-4=21$
(3) 先计算括号内的运算：
$0\otimes(-1)=0^2-|-1|=0-1=-1$
再计算括号外的运算：
$(-3)\otimes[0\otimes(-1)]=(-3)\otimes(-1)=(-3)^2-|-1|=9-1=8$
【答案】
(1)1；(2)21；(3)8
【知识点】
定义新运算，有理数乘方，绝对值运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解能力和基础运算能力，只需严格按照定义的规则代入数值，遵循运算顺序计算即可，运算时要注意符号的处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
