12.(10分)(2025·宿迁宿城区期中)先化简,再求值:$3(m^2 - mn + n^2) - (m^2 + mn + 3n^2)$,其中$m=-2,n=-1$.
答案：12.解:原式=$3m^2−3mn+3n^2−m^2−mn−3n^2=2m^2−4mn$,
当$m=−2,n=−1$时,
原式=$2×(−2)^2−4×(−2)×(−1)=2×4−8=8−8=0$.
解析：
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：首先根据去括号法则去掉原式中的括号，需注意括号前是负号时，括号内的每一项都要改变符号；其次合并同类项，把整式化为最简形式，能大幅降低后续代入计算的工作量；最后将给定的m、n的值代入化简后的整式，按照有理数混合运算规则计算出结果即可。
【解析】
解：先对原式去括号：
$原式=3m^2 - 3mn + 3n^2 - m^2 - mn - 3n^2$
再合并同类项：
$=(3m^2 - m^2)+(-3mn - mn)+(3n^2 - 3n^2)$
$=2m^2 - 4mn$
将$m=-2$，$n=-1$代入化简后的式子：
$原式=2×(-2)^2 - 4×(-2)×(-1)$
$=2×4 - 8$
$=8 - 8$
$=0$
【答案】
$0$
【知识点】
1.去括号法则 2.合并同类项 3.代数式求值
【点评】
本题是整式加减的基础常考题，核心考察去括号的符号处理能力和合并同类项的运算能力，先化简再求值的思路可有效简化计算、降低出错概率，解题时需格外注意去括号后的符号变化，避免因符号失误失分。
【难度系数】
0.8
13.(15分)已知多项式$(2x^2+ax+ty^3-1)-(2bx^2-3x+5my+2)$的值与字母$x$的取值无关.
(1)求$a,b$的值；
(2)当$y=1$时，多项式的值为3，当$y=-1$时，求多项式的值.
答案：13.解:(1)原式=$2x^2+ax+ty^3−1−2bx^2+3x−5my−2=(2−2b)x^2+(a+3)x+ty^3−5my−3$.
因为多项式的值与字母$x$的取值无关,
所以$2−2b=0,a+3=0$,
解得$a=−3,b=1$.
(2)因为当$y=1$时,
多项式的值为3,
所以$t−5m−3=3$,
所以$t−5m=6$,
所以当$y=−1$时,原式=$−t+5m−3=−(t−5m)−3=−6−3=−9$.
解析：
【分析】
(1) 解决第一问首先要对原式去括号、合并同类项，将含x的项整理在一起。多项式的值与x的取值无关的含义是：无论x取何值，含x的项的总数值都为0，因此所有含x的项的系数都必须为0，据此列方程即可求出a、b的值。
(2) 求出a、b后，原式仅剩含y的项，先将y=1代入化简后的多项式，得到t与m的数量关系，再将y=-1代入，用整体代入法计算即可，不需要单独求t、m的具体值。
【解析】
(1) 先化简原式：
$\begin{aligned}&(2x^2+ax+ty^3-1)-(2bx^2-3x+5my+2)\\=&2x^2+ax+ty^3-1-2bx^2+3x-5my-2\\=&(2-2b)x^2+(a+3)x+ty^3-5my-3\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0：
$\begin{cases}2-2b=0\\a+3=0\end{cases}$
解得$a=-3$，$b=1$。
(2) 由(1)得化简后的多项式为$ty^3-5my-3$，
当$y=1$时，多项式的值为3，代入得：
$t-5m-3=3$，即$t-5m=6$。
当$y=-1$时，代入多项式得：
$\begin{aligned}原式&=t×(-1)^3-5m×(-1)-3\\&=-t+5m-3\\&=-(t-5m)-3\end{aligned}$
将$t-5m=6$整体代入，得：
$原式=-6-3=-9$
【答案】
(1) $a=-3$，$b=1$；(2) $-9$
【知识点】
整式的加减，多项式无关条件，整体代入求值
【点评】
本题考查整式加减中无关类问题的处理方法，核心是理解与某字母无关等价于该字母的所有同类项系数均为0；第二问用到的整体代入思想是代数式求值的常用技巧，可简化计算，无需单独求解未知参数，需熟练掌握。
【难度系数】
0.65
14.(15分)(2025·宿迁宿城区期中)如图是某展览馆模型的平面图,其外框是一个大正方形,中间四个大小相同的正方形(阴影部分)是支撑展馆的核心筒,标记了字母的五个大小相同的正方形是展厅,剩余的是四个大小相同的休息厅,已知核心筒的正方形边长比展厅的正方形边长的一半多1米.
(1)若设每个展厅的正方形的边长为x米,用含x的式子表示核心筒的正方形边长为
$(\dfrac{1}{2}x+1)$
米.
(2)若核心筒的正方形的边长为y米,
①则每个展厅的正方形的边长为
$2(y-1)$
米;
②求该模型的平面图外框大正方形的周长(用含y的式子表示);
③求每个休息厅的图形的周长(用含y的式子表示).
答案：14.(1)$(\dfrac{1}{2}x+1)$
(2)①$2(y-1)$
②解:根据题意,得该模型的平面图外框大正方形的边长为$3×2(y−1)+2y=6y−6+2y=(8y−6)$米,
故该模型的平面图外框大正方形的周长为$4(8y−6)=(32y−24)$米.
③解:根据题意,得每个休息厅的图形的周长为$2[2(y−1)+2y]+2[2(y−1)+y]=2(4y−2)+2(3y−2)=8y−4+6y−4=(14y−8)$米.
解析：
【分析】
（1）第一小问直接根据题目给出的核心筒边长与展厅边长的数量关系，直接列代数式即可；
（2）①将核心筒边长y代入第（1）问的等量关系，反解出展厅的边长即可；
②求外框大正方形的周长时，先观察图形确定外框大正方形的边长：外框大正方形水平/竖直方向的长度等于3个展厅的边长加上2个核心筒的边长，代入对应边长表达式求出大正方形边长后，再根据正方形周长公式计算即可；
③求休息厅的周长时，先观察确定休息厅是长方形，找准其长和宽的组成：长为1个展厅边长加2个核心筒边长，宽为1个展厅边长加1个核心筒边长，再根据长方形周长公式代入化简即可。
【解析】
（1）已知每个展厅的正方形边长为x米，核心筒的正方形边长比展厅的正方形边长的一半多1米，因此核心筒的正方形边长为$(\dfrac{1}{2}x+1)$米；
（2）①已知核心筒的正方形边长为y米，由（1）的等量关系可得$y=\dfrac{1}{2}x+1$，变形得$x=2(y-1)$，即每个展厅的正方形边长为$2(y-1)$米；
②先求外框大正方形的边长：
观察图形可知，外框大正方形边长=3个展厅边长+2个核心筒边长，
代入得边长$=3× 2(y-1)+2y=6y-6+2y=(8y-6)$米，
因此外框大正方形的周长$=4×(8y-6)=(32y-24)$米；
③先求休息厅的长和宽：
观察图形可得，休息厅的长$=2(y-1)+2y$，休息厅的宽$=2(y-1)+y$，
因此休息厅的周长$=2×[2(y-1)+2y]+2×[2(y-1)+y]$
$=2(4y-2)+2(3y-2)$
$=8y-4+6y-4$
$=(14y-8)$米。
【答案】
(1)$(\dfrac{1}{2}x+1)$
(2)①$2(y-1)$；②$(32y-24)$米；③$(14y-8)$米
【知识点】
列代数式；代数式化简；周长计算
【点评】
本题结合平面图形考查代数式的实际应用，解题的关键是准确梳理题意中的数量关系，结合图形分析各部分边长的组成，再代入周长公式化简计算即可。
【难度系数】
0.7
