8. 数学文化（2025·泰州高港区期末）《九章算术》中记载了一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺.问绳长和井深各多少尺？若设绳长为$x$尺，则下列符合题意的方程是 （
A
）
A.$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x - 1$
B.$\frac{1}{3}x + 4 = \frac{1}{4}x + 1$
C.$3(x + 4) = 4(x + 1)$
D.$3x + 4 = 4x + 1$
答案：8.A
解析：
【分析】
解题的核心是抓住题目中的不变量——井深，结合设出的绳长未知数，分别用两种测量方式表示出井深，再根据井深相等列出等式即可。首先明确：绳子折成n等份时，每等份的长度是绳长的$\frac{1}{n}$；每等份绳长比井深多a尺时，井深就等于每等份绳长减去a尺。同时要注意题干明确设的是绳长为x，不要和设井深的情况混淆。
【解析】
已知设绳长为$x$尺：
1. 当绳子折成三等份时，每等份绳长为$\frac{1}{3}x$尺，此时每等份比井深多4尺，因此井深可表示为：$\frac{1}{3}x - 4$；
2. 当绳子折成四等份时，每等份绳长为$\frac{1}{4}x$尺，此时每等份比井深多1尺，因此井深可表示为：$\frac{1}{4}x - 1$；
3. 由于井深是固定不变的，因此可列方程：$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x - 1$，对应选项A。
补充说明：选项C是设井深为未知数时所列的方程，不符合本题设绳长为x的要求，选项B、D的等量关系逻辑错误，均排除。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题以古代数学经典问题为载体，考查用一元一次方程解决实际问题的能力，解题关键是找准不变量，明确所设未知数对应的数量关系，避免因混淆未知数的设定选错答案。
【难度系数】
0.8
9.某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张20元，如果36名学生购票恰好用去860元，那么甲种票买了
14
张.
答案：9.14
解析：
【分析】
这是一元一次方程在实际购票问题中的应用，解题思路如下：首先设甲种票的购买数量为未知数x，由于总共有36名学生，因此乙种票的数量可表示为(36-x)张；接着找等量关系：甲种票总费用+乙种票总费用=购票总费用，其中单张票价×购买数量=对应票种的总费用；最后将已知量和未知量代入等量关系列方程，求解得到x的值即可。
【解析】
解：设甲种票买了$x$张，则乙种票买了$(36-x)$张。
根据题意可列方程：
$30x + 20(36-x) = 860$
展开括号得：$30x + 720 - 20x = 860$
合并同类项得：$10x + 720 = 860$
移项计算得：$10x = 860 - 720 = 140$
解得：$x = 14$
【答案】
14
【知识点】
一元一次方程应用、等量关系建立、一元一次方程求解
【点评】
本题是基础的方程实际应用题，核心是找准总费用的等量关系，按照设未知数、列方程、解方程的步骤即可快速求解，是巩固一元一次方程应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
10.(2025·陕西)草莓熟了,学校组织同学们参加劳动实践,帮助果农采摘草莓.小康和小悦采摘的时长相同,采摘结束后,小康采摘的草莓比小悦多2.4 kg.已知小康平均每小时采摘6 kg,小悦平均每小时采摘4 kg,小康采摘的时长是
1.2
小时.
答案：10.1.2
解析：
【分析】
首先梳理题目中的已知条件：两人采摘时长相同，小康每小时采摘6kg，小悦每小时采摘4kg，最终小康比小悦多摘2.4kg。我们可以设共同的采摘时长为未知数，根据“总采摘量=每小时采摘量×采摘时长”分别表示出两人的总采摘量，再利用“小康总采摘量-小悦总采摘量=2.4kg”这一等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设小康采摘的时长是$ x $小时。
小康的总采摘量为$ 6x $kg，小悦的总采摘量为$ 4x $kg，根据题意列方程：
$ 6x - 4x = 2.4 $
合并同类项，得：
$ 2x = 2.4 $
系数化为1，得：
$ x = 1.2 $
【答案】
1.2
【知识点】
一元一次方程的实际应用；工作总量=效率×时间
【点评】
本题属于一元一次方程应用的基础题型，解题关键是准确找到题目中的等量关系，结合基础数量公式列方程计算即可，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.85
11.某书法社团中女生人数占这个社团人数的一半，如果再有8名女生加入，那么女生人数就占全团人数的$\frac{2}{3}$.求这个书法社团的人数.
答案：11.解:设这个书法社团的人数为 x,根据题意,得
$\frac{x}{2}+8=\frac{2}{3}(x+8)$,解得 x=16.
答:这个书法社团的人数为 16.
解析：
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，可按照“设未知数-找等量关系-列方程-解方程-检验作答”的思路求解：首先设书法社团原有人数为x，先表示出原有女生人数为$\frac{x}{2}$；加入8名女生后，女生人数变为$\frac{x}{2}+8$，此时社团总人数也同步增加8人，变为$x+8$；根据“此时女生人数占全团人数的$\frac{2}{3}$”可列出等量关系：加入后女生人数 = 加入后总人数×$\frac{2}{3}$，代入对应表达式列方程求解即可，最后可验证结果是否符合题意。
【解析】
解：设这个书法社团的人数为$x$。
原有女生人数为$\frac{1}{2}x$，加入8名女生后，女生人数为$\frac{1}{2}x + 8$，此时社团总人数为$x + 8$。
根据题意列方程：
$\frac{x}{2}+8=\frac{2}{3}(x+8)$
方程两边同时乘6消去分母，得：
$3x + 48 = 4(x + 8)$
展开括号：
$3x + 48 = 4x + 32$
移项、合并同类项得：
$x = 16$
经检验，$x=16$符合题意。
【答案】
这个书法社团的人数为16。
【知识点】
一元一次方程应用，解一元一次方程，分数应用题
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题的核心是找准等量关系，易错点是容易忽略女生加入后社团总人数也会随之增加，进而错误列出$\frac{x}{2}+8=\frac{2}{3}x$的方程，解题后可代入原题验证结果是否正确。
【难度系数】
0.7
13.四兄弟共有 180 元钱,如果老大的钱增加 2 元,老二的钱减少 2 元,老三的钱增加为原来的2倍,老四的钱减少为原来的$\frac{1}{2}$,那么他们的钱就一样多了.算一算,兄弟四人分别有多少元钱?
答案：13.解:设一样多的钱为 x 元,则老大有(x−2)元,老二有(x+2)元,老三有$\frac{1}{2}x$元,老四有 2x 元,根据题意,得
$x-2+x+2+\frac{1}{2}x+2x=180$,解得 x=40,则 x−2=38,$x+2=42$,$\frac{1}{2}x=20$,$2x=80$.
答:老大有 38 元,老二有 42 元,老三有 20 元,老四有 80 元.
解析：
【分析】
这道题存在四个未知量，且四个未知量经过增减变化后结果相等，因此采用间接设元的思路更简便：先设变化后四人相等的钱数为x元，再反推四人原来各自的钱数，最后根据“四兄弟总共有180元”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设变化后四人一样多的钱为x元。
根据变化关系反推四人原有的钱数：
老大原来的钱增加2元是x元，所以老大原有$(x-2)$元；
老二原来的钱减少2元是x元，所以老二原有$(x+2)$元；
老三原来的钱增加为原来的2倍是x元，所以老三原有$\frac{1}{2}x$元；
老四原来的钱减少为原来的$\frac{1}{2}$是x元，所以老四原有$2x$元。
根据四人总钱数为180元，列方程：
$x-2+x+2+\frac{1}{2}x+2x=180$
合并同类项得：$4.5x=180$
解得：$x=40$
分别代入计算四人原有的钱：
老大：$x-2=40-2=38$（元）
老二：$x+2=40+2=42$（元）
老三：$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}×40=20$（元）
老四：$2x=2×40=80$（元）
答：老大有38元，老二有42元，老三有20元，老四有80元。
【答案】
老大有38元，老二有42元，老三有20元，老四有80元。
【知识点】
一元一次方程应用；和差倍分问题
【点评】
本题是典型的间接设元类应用题，选择设变化后相等的量为未知数，可大幅简化列方程的难度。解题的核心是准确根据变化关系写出四个原有数量的表达式，再结合总和的等量关系列式计算。
【难度系数】
0.7
