7.用同样规格的黑白两种颜色的正方形按如图的方式拼图,请根据图中的信息解答下列问题:
(1)在图②中用了
8
块白色正方形,在图③中用了
11
块白色正方形.
(2)按如图的规律继续拼下去,那么第n个图形要用
3n+2
块白色正方形.
(3)如果有足够多的黑色正方形,能不能恰好用完2024块白色正方形,拼出具有以上规律的图形?如果可以,请说明它是第几个图形;如果不能,说明你的理由.
答案：7.(1)8 11 (2)(3n+2)
(3)解:能恰好用完2024块白色正方形.
3n+2=2024,解得n=674.
答:第674个图形中恰好用完2024块白色正方形.
解析：
【分析】
解决本题先从已知图形入手，首先数出前3个图形的白色正方形数量，观察可得相邻图形的白色正方形数量每次增加3块，据此可解答前两问；第三问将2024代入得到的规律表达式，建立一元一次方程，判断解是否为正整数即可得出结论。
【解析】
(1) 观察图形计数：
图①白色正方形有5块，图②比图①多3块白色正方形，即5+3=8块；图③比图②多3块白色正方形，即8+3=11块。
(2) 推导规律：
第1个图形白色正方形数量：$5=3×1+2$
第2个图形白色正方形数量：$8=3×2+2$
第3个图形白色正方形数量：$11=3×3+2$
因此第n个图形白色正方形的数量为$(3n+2)$块。
(3) 解：能恰好用完2024块白色正方形，理由如下：
令$3n+2=2024$，
移项得：$3n=2024-2$，
计算得：$3n=2022$，
系数化为1得：$n=674$。
因为674是正整数，符合图形序号要求，所以可以拼出符合规律的图形，是第674个图形。
【答案】
(1)8，11；(2)$3n+2$；(3)能，是第674个图形。
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合图形变化考查规律探究与方程应用，需要先从已知图形中归纳出数量变化的通用规律，再利用规律列方程求解，侧重锻炼观察归纳能力与方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
8.学校组织植树活动,已知在甲处植树的有6人,在乙处植树的有10人,在丙处植树的有8人,现调来若干人去支援,使在甲、乙、丙三处植树的人数之比为2:3:4.设支援后在甲处植树的人数为2x.
(1)根据信息填表:
(2)已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍,则支援甲、乙、丙处各有多少人?
答案：8.(1)3x 4x 3x-10 4x-8
(2)根据题意,得4x-8=2(3x-10),解得x=6,
所以2x-6=6,3x-10=8,4x-8=16.
答:支援甲、乙、丙处分别有6人,8人和16人.
解析：
【分析】
第(1)问：已知支援后甲、乙、丙三处人数比为2:3:4，且甲处支援后人数为2x，按比例分配即可得出乙、丙两处支援后的人数；支援人数=支援后人数-该处原有人数，代入对应数值即可写出乙、丙两处支援的人数表达式。
第(2)问：先提取题目中的等量关系：支援丙处的人数=2×支援乙处的人数，将第(1)问得到的对应代数式代入等量关系，列出一元一次方程，求解得到x的值，再分别代入各处支援人数的代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 因为支援后甲、乙、丙三处人数比为2:3:4，甲处支援后人数为2x，所以乙处支援后人数为3x，丙处支援后人数为4x。
支援人数等于支援后人数减去该处原有人数：
乙处原有10人，因此支援乙处的人数为$3x-10$；
丙处原有8人，因此支援丙处的人数为$4x-8$。
即表格空白处依次填：$3x$、$4x$、$3x-10$、$4x-8$。
(2) 根据“支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍”，列方程：
$\begin{aligned}4x-8&=2(3x-10)\\4x-8&=6x-20\\6x-4x&=20-8\\2x&=12\\x&=6\end{aligned}$
将$x=6$代入各支援人数的表达式：
支援甲处人数：$2x-6=2×6-6=6$（人）
支援乙处人数：$3x-10=3×6-10=8$（人）
支援丙处人数：$4x-8=4×6-8=16$（人）
【答案】
(1) $\boldsymbol{3x}$，$\boldsymbol{4x}$，$\boldsymbol{3x-10}$，$\boldsymbol{4x-8}$
(2) 支援甲处6人，支援乙处8人，支援丙处16人
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，比例的应用
【点评】
本题属于人员调配类应用题，解题核心是先根据比例关系准确表示各处人数，再抓住等量关系列方程求解，是一元一次方程应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
9.如图,将正整数1到900按一定规律排列,对如图十字形框中的5个数进行探究.
(1)设这5个数中间的数为a,则最小的数为
a-9
,最大的数为
a+9
.
(2)若这5个数的和是240,求出这5个数中间的数.
(3)这5个数的和可能是2025吗?若能,求出这5个数中间的数;若不能,请说明理由.
(4)若将十字形框框住的五个数的和记为S,则S的最大值与最小值的差为
4395
.
答案：9.(1)a-9 a+9
(2)解:设中间的数为a,则其他4个数分别为a-9,a-1,a+1,a+9,根据题意,得a-9+a-1+a+a+1+a+9=240,解得a=48.
答:这5个数中间的数为48.
(3)解:不能,理由如下:
由(2),得a-9+a-1+a+a+1+a+9=2025,
解得a=405.
因为405÷9=45,
所以405是第9列的数,
所以这5个数的和不可能是2025.
(4)4395
解析：
【分析】
观察数阵可知，每行排列9个连续正整数，同一列上下相邻两个数相差9，同一行左右相邻两个数相差1。十字框中的5个数分别为中间数的上、下、左、右各1个数：
(1) 最小的数是中间数上方的数，比中间数小9；最大的数是中间数下方的数，比中间数大9，直接用含a的代数式表示即可。
(2) 先将5个数用含a的代数式全部表示出来，相加后正负抵消，和为5a，列一元一次方程即可求解。
(3) 先按(2)的规律算出对应a，再判断a的位置：若a在第1列或第9列，则左右没有相邻数；若a在第1行或最后一行，则上下没有相邻数，此时无法框出5个数，即可判断是否成立。
(4) 先找出所有符合要求的中间数的最小值和最大值，分别计算对应的和S，再求差即可。
【解析】
(1) 上下相邻数相差9，因此上方最小的数为$a-9$，下方最大的数为$a+9$。
(2) 设中间的数为$a$，则其余4个数分别为$a-9$（上方数）、$a-1$（左侧数）、$a+1$（右侧数）、$a+9$（下方数），根据题意列方程：
$\begin{aligned}a-9+a-1+a+a+1+a+9&=240\\5a&=240\\a&=48\end{aligned}$
(3) 不能，理由如下：
假设5个数的和为2025，按规律列方程得：
$\begin{aligned}5a&=2025\\a&=405\end{aligned}$
由于每行有9个数，$405÷9=45$，说明405是第45行第9列的数，它的右侧没有相邻数，无法框出符合要求的5个数，因此5个数的和不可能是2025。
(4) 总共有$900÷9=100$行，中间数$a$不能在第1行、第1列、第9列、第100行：
最小的$a$是第2行第2列的数，为$9+2=11$，对应最小$S=5×11=55$；
最大的$a$是第99行第8列的数，为$98×9+8=890$，对应最大$S=5×890=4450$；
二者的差为$4450-55=4395$。
【答案】
(1)$a-9$；$a+9$
(2)48
(3)不能，理由见解析
(4)4395
【知识点】
数阵规律探究；一元一次方程的应用；代数式表示数
【点评】
本题将数阵规律与一元一次方程结合考查，核心是找到十字框内五个数的和与中间数的倍数关系，解题时需注意中间数的位置限制，排除不符合实际情况的解，属于规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.6
