27.(12分)平面内的三条直线有4种不同的位置关系，相关性质如下表：
| 直线的位置关系 |
| | |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 所得交点的个数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 直线被交点分成“净线段”或“净射线”的条数 | 0 | 6 | 7 | 9 |
| 平面被直线分成区域的个数 | 4 | 6 | 6 | 7 |
规定：“净线段”“净射线”是指除端点外无其他交点的线段、射线.
(1)平面内的四条直线有多种不同的位置关系，这四条直线
①所得交点的个数可能是
$0,1,3,4,5,6$
；(写出所有不同的结果)
②被交点分成的线段或射线，最多有
$16$
条；
③将平面分成区域的个数可能是
$5,8,9,10,11$
.(写出所有不同的结果)
(2)①平面内的n条直线所得交点的个数最多为
$\dfrac{n(n-1)}{2}$
；(用含n的代数式表示)
②平面内的n条直线将平面最多分成
$[\dfrac{n(n+1)}{2}+1]$
个区域.(用含n的代数式表示)
答案：27.(1)①$0,1,3,4,5,6$ ②$16$
③$5,8,9,10,11$
(2)①$\dfrac{n(n-1)}{2}$
②$[\dfrac{n(n+1)}{2}+1]$
28.(12分)阅读下列材料,并回答问题.我们知道$|a|$的几何意义是指数轴上表示数$a$的点与原点的距离,那么$|a-b|$的几何意义又是什么呢?我们不妨考虑一下,取特殊值时的情况.比如考虑$|5-(-6)|$的几何意义,在数轴上分别标出表示$-6$和$5$的点(如图所示),两点间的距离是11,而$|5-(-6)|=11$,因此不难看出$|5-(-6)|$就是数轴上表示$-6$和$5$两数的点之间的距离,$|a-b|$的几何意义是数轴上$a,b$两数对应点之间的距离.
(1)当$\left|x-\dfrac{2}{3}\right|=2$时,求出$x$的值.
(2)设$Q=|x+6|-|x-5|$,请问$Q$是否存在最大值,若没有,请说明理由;若有,请求出最大值.
(3)设$Q=|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|+\dots+|x-2024|$,求$Q$的最小值,此时$x$的取值范围是多少?
答案：28.解:(1)由题意,得$\left|x-\dfrac{2}{3}\right|$是数轴上表示$x$和$\dfrac{2}{3}$两点间的距离,
因为$\left|x-\dfrac{2}{3}\right|=2$,所以$x=\dfrac{2}{3}+2=\dfrac{8}{3}$或$x=\dfrac{2}{3}-2=-\dfrac{4}{3}$.
(2)$Q=|x+6|-|x-5|$存在最大值为11,理由:分三种情况:
当$x≤-6$时,$Q=|x+6|-|x-5|=-x-6+x-5=-11$;
当$-6＜x≤5$时,$Q=|x+6|-|x-5|=x+6+x-5=2x+1$,则$-11＜2x+1≤11$;
当$x＞5$时,$Q=|x+6|-|x-5|=x+6-(x-5)=11$.
所以$Q$的最大值为11.
(3)由题意得,当$1012≤ x≤1014$时,$Q=|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|+\dots+|x-2024|$取到最小值,其最小值为$|1012-2|+|1012-4|+|1012-6|+|1012-8|+\dots+|1012-2024|=1010+1008+1006+\dots+0+2+4+6+\dots+1012=1012×505+1012=512072$.
