1.定义一种新运算：$T(x,y)=\frac{2x+y}{x+y}$，其中$x+y≠0$，比如：$T(2,5)=\frac{2×2+5}{2+5}=\frac{9}{7}$，则$T(1,2)+T(2,3)+…+T(100,101)+T(101,101)+T(101,100)+…+T(3,2)+T(2,1)$的值为（
B
）
A.$\frac{597}{2}$
B.$\frac{603}{2}$
C.300
D.303
答案：1.B 点拨:原式=$\frac{4}{3}+\frac{7}{5}+…+\frac{301}{201}+\frac{303}{202}+\frac{302}{201}+…+\frac{8}{5}+\frac{5}{3}=(\frac{4}{3}+\frac{5}{3})+(\frac{7}{5}+\frac{8}{5})+…+(\frac{301}{201}+\frac{302}{201})+\frac{303}{202}=3+3+…+3+\frac{3}{2}=300+\frac{3}{2}=\frac{603}{2}$.
解析：
【分析】
首先明确新运算$T(x,y)$的计算规则，再观察所求算式的结构特征：除中间单独的$T(101,101)$外，其余项呈对称分布，即$T(a,b)$和$T(b,a)$成对出现。我们可以先推导$T(a,b)+T(b,a)$的定值，再统计配对组数，最后计算单独的中间项，将两部分结果相加即可，无需逐个计算所有项，能大幅简化运算。
【解析】
1. 推导配对项的和：
由新运算定义$T(x,y)=\frac{2x+y}{x+y}$，可得：
$T(a,b)=\frac{2a+b}{a+b}$，$T(b,a)=\frac{2b+a}{a+b}$
两式相加：
$T(a,b)+T(b,a)=\frac{2a+b+2b+a}{a+b}=\frac{3(a+b)}{a+b}=3$（$a+b≠0$，符合运算要求）
2. 统计配对组数：
观察算式，成对的项为$(T(1,2),T(2,1))$、$(T(2,3),T(3,2))$……$(T(100,101),T(101,100))$，共100组，每组和为3，这部分总和为$100×3=300$。
3. 计算中间单独项：
$T(101,101)=\frac{2×101+101}{101+101}=\frac{3×101}{2×101}=\frac{3}{2}$
4. 计算总结果：
$300+\frac{3}{2}=\frac{603}{2}$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，有理数巧算，规律探究
【点评】
本题结合新定义考查有理数的运算技巧，解题核心是观察到算式的对称结构，通过配对求和简化运算，重点考查观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
2.对于一个自然数n,如果能找到正整数x,y,使得$n=x+y+xy$,就称n为“好数”,例如：$3=1+1+1×1$,则3是一个“好数”,在8,9,10,11这四个数中,是“好数”的是
8,9,11
.
答案：2.8,9,11 点拨:因为8=2+2+2×2,所以8是“好数”.因为9=1+4+1×4,所以9是“好数”.因为11=2+3+2×3,所以11是“好数”.综上可得,在8,9,10,11这四个数中,“好数”有8,9,11.
解析：
【分析】
拿到新定义题型首先要准确理解定义规则：本题“好数”要求存在正整数x、y满足$n=x+y+xy$。解题可采用两种思路：一是逐个对四个数字验证，从小到大尝试正整数x，计算对应的y是否为正整数即可；二是对等式变形，两边同时加1可得$n+1=(x+1)(y+1)$，因为x、y是正整数，所以$x+1$、$y+1$都是不小于2的正整数，即$n+1$能拆成两个不小于2的正整数的乘积，即可判断n为好数。两种方法均符合七年级知识要求，可自由选择。
【解析】
我们采用逐个验证的方法判断四个数是否为“好数”：
1. 验证8：取$x=2$，$y=2$，代入得$x+y+xy=2+2+2×2=8$，满足定义，故8是“好数”；
2. 验证9：取$x=1$，$y=4$，代入得$x+y+xy=1+4+1×4=9$，满足定义，故9是“好数”；
3. 验证10：依次尝试正整数x：
$x=1$时，$1+y+y=10$，解得$y=4.5$，不是正整数；
$x=2$时，$2+y+2y=10$，解得$y=\frac{8}{3}$，不是正整数；
$x≥3$时，代入后y均不为正整数，故10不是“好数”；
4. 验证11：取$x=2$，$y=3$，代入得$x+y+xy=2+3+2×3=11$，满足定义，故11是“好数”。
【答案】
8,9,11
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、正整数性质
【点评】
本题重点考查新定义规则的理解与应用能力，解题核心是紧扣定义要求，通过合理枚举或简单式子变形即可得出结果，同时也考查了学生的基础运算能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图，数轴上两点A，B对应的数分别为－8和4，P为数轴上一动点，若规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“广益点”.
(1)若点P到点A的距离等于点P到点B的距离，则点P表示的数是
－2
；
(2)若点P以每秒1个单位长度的速度从原点开始向右运动，当点P是关于A→B的“广益点”时，求点P的运动时间；
(3)若点P在原点的左边(即点P对应的数为负数)，且点P，A，B中有一个点是关于其他两个点的“广益点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数.
答案：3.(1)−2
(2)解:设点P运动的时间为t秒,则PA=t+8,PB=|t−4|,
因为点P是关于A→B的“广益点”,
所以t+8=3|t−4|,
所以t+8=3(t−4)或t+8=3(4−t),
所以t=10或t=1,
所以点P的运动时间为1秒或10秒.
(3)解:设点P表示的数为n,则PA=n+8或PA=−8−n,PB=4−n,AB=12,分6种情况讨论如下:
①当点A是关于P→B的“广益点”时,AP=3AB,−8−n=36或n+8=36,所以n=−44或n=28(舍去);
②当点A是关于B→P的“广益点”时,AB=3AP,3(−8−n)=12或3(8+n)=12,所以n=−12或n=−4;
③当点P是关于A→B的“广益点”时,PA=3PB,−8−n=3(4−n)或8+n=3(4−n),所以n=10(舍去)或n=1(舍去);
④当点P是关于B→A的“广益点”时,PB=3PA,4−n=3(n+8)或4−n=3(−n−8),所以n=−5或n=−14;
⑤当点B是关于P→A的“广益点”时,PB=3AB,4−n=36,所以n=−32;
⑥当点B是关于A→P的“广益点”时,AB=3PB,即3(4−n)=12,所以n=0(舍去).
综上,所有符合条件的点P表示的数为−4,−5,−12,−14,−32,−44.
解析：
【分析】
(1) 点P到A、B距离相等，说明P是线段AB的中点，可设P表示的数为x，根据两点距离相等列绝对值方程求解，也可直接用数轴中点公式计算。
(2) 先设运动时间为t秒，得到t秒后P对应的数为t，再根据“广益点”定义PA=3PB，结合数轴两点距离公式分别表示PA、PB，PB因t和4的大小关系不确定需加绝对值，列方程后分两种情况去绝对值求解，所得正解均符合题意。
(3) 设P表示的数为n（n＜0），分3大类共6小种情况讨论：A为另外两点的广益点、P为另外两点的广益点、B为另外两点的广益点，每种情况按“广益点”定义列方程，求解后舍去n≥0的不符合条件的解，剩余即为答案。
【解析】
(1) 设点P表示的数为x，由题意得$|x-(-8)|=|x-4|$，即$|x+8|=|x-4|$，解得$x=-2$。
(2) 设点P运动的时间为t秒，则t秒后点P对应的数为t，
$PA = t - (-8) = t+8$，$PB=|t-4|$，
∵点P是关于A→B的“广益点”，
∴$PA=3PB$，
即$t+8=3|t-4|$，
分两种情况：
①当$t≥4$时，$t+8=3(t-4)$，解得$t=10$；
②当$t＜4$时，$t+8=3(4-t)$，解得$t=1$。
两个解均符合运动要求，故点P运动时间为1秒或10秒。
(3) 设点P表示的数为$n(n＜0)$，$PA=|n+8|$，$PB=4-n$，$AB=4-(-8)=12$，分6种情况：
①A是P→B的“广益点”：$AP=3AB$，即$|n+8|=36$，解得$n=-44$或$n=28$（$n=28＞0$舍去），得$n=-44$；
②A是B→P的“广益点”：$AB=3AP$，即$12=3|n+8|$，解得$n=-12$或$n=-4$，均符合$n＜0$；
③P是A→B的“广益点”：$PA=3PB$，即$|n+8|=3(4-n)$，解得$n=1$或$n=10$，均大于0，全部舍去；
④P是B→A的“广益点”：$PB=3PA$，即$4-n=3|n+8|$，解得$n=-5$或$n=-14$，均符合$n＜0$；
⑤B是P→A的“广益点”：$PB=3AB$，即$4-n=36$，解得$n=-32$，符合要求；
⑥B是A→P的“广益点”：$AB=3PB$，即$12=3(4-n)$，解得$n=0$，不符合$n＜0$，舍去。
综上，符合条件的点P表示的数为-4、-5、-12、-14、-32、-44。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$
(2) $\boldsymbol{1}$秒或$\boldsymbol{10}$秒
(3) $\boldsymbol{-4、-5、-12、-14、-32、-44}$
【知识点】
数轴两点距离、新定义运算、绝对值方程求解
【点评】
本题以数轴新定义为载体，重点考察数轴距离公式与分类讨论思想，解题时需注意绝对值方程的多解性，同时要结合题目的位置限制筛选解，对分类讨论的完整性要求较高，容易出现漏解或错解。
【难度系数】
0.3
