1.设$(3x-1)^5=a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$,则$a_1+a_3+a_5$的值为 （
C
）
A.1024
B.264
C.528
D.1056
答案：1.C 点拨:设$x=1$,则 $32=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$①;设$x=-1$,则$-1024=-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$②;用①-②,得 $1056=2a_1+2a_3+2a_5$,故 $a_1+a_3+a_5=528.$
解析：
【分析】
本题要求多项式展开式中奇次项系数的和，直接展开高次多项式计算量过大，可采用特殊值代入法求解：第一步给x赋值为1，代入后所有x的幂次结果都为1，可得到所有系数相加的等式；第二步给x赋值为-1，代入后奇次幂的x为-1、偶次幂的x为1，可得到偶次系数加常数项减去奇次系数的等式；第三步将两个等式相减，消去偶次系数和常数项，只剩下奇次系数和的2倍，除以2即可得到结果。
【解析】
解：当$x=1$时，代入等式$(3x-1)^5=a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$得：
$(3×1-1)^5=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$，即$32=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$ ①
当$x=-1$时，代入等式得：
$[3×(-1)-1]^5=-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$，即$-1024=-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$ ②
用①减去②，得：
$32-(-1024)=(a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0)-(-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0)$
左边计算得$1056$，右边化简得$2a_1+2a_3+2a_5$，即$1056=2(a_1+a_3+a_5)$
两边同时除以2，得$a_1+a_3+a_5=528$
【答案】C
【知识点】
赋值法求代数式值，整式加减运算，整体思想
【点评】
本题是求多项式系数和的典型题型，核心技巧是通过代入特殊值快速得到系数之间的关系，再通过整式加减消去无关项得到结果，能有效考查对整体运算思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
2.已知$(2x^2 - x - 1)^3 = a_0x^6 + a_1x^5 + a_2x^4 + a_3x^3 + a_4x^2 + a_5x + a_6$，求$a_0 + a_2 + a_4$的值.
答案：2.解:令$x=1$,则$(2-1-1)^3=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6$,
即$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=0.$ ①
令$x=-1$,则$(2+1-1)^3=a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6$,
即$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6=8.$ ②
①+②,得$2(a_0+a_2+a_4+a_6)=8$,所以$a_0+a_2+a_4+a_6=4.$
令$x=0$,得$(-1)^3=a_6$,
所以$a_6=-1$,所以$a_0+a_2+a_4=5.$
解析：
【分析】
要求多项式的偶次项系数之和$a_0+a_2+a_4$，我们可以通过给$x$代入特殊值构造对应的代数式：
1. 当$x=1$时，$x$的任意次幂都为1，代入后可得到所有项系数的总和；
2. 当$x=-1$时，$x$的奇数次幂为-1、偶数次幂为1，代入后可得到偶次项系数和减去奇次项系数和的结果；
3. 将上述两个结果相加，奇次项系数会相互抵消，就能得到包含常数项$a_6$的偶次项系数总和，再代入$x=0$求出常数项$a_6$，减去$a_6$即可得到所求的结果。
【解析】
解：令$x=1$，则$(2×1^2 - 1 - 1)^3 = a_0×1^6 + a_1×1^5 + a_2×1^4 + a_3×1^3 + a_4×1^2 + a_5×1 + a_6$，
即$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=0$ ①
令$x=-1$，则$[2×(-1)^2 - (-1) - 1]^3 = a_0×(-1)^6 + a_1×(-1)^5 + a_2×(-1)^4 + a_3×(-1)^3 + a_4×(-1)^2 + a_5×(-1) + a_6$，
即$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6=8$ ②
①+②，得$2(a_0+a_2+a_4+a_6)=8$，化简得$a_0+a_2+a_4+a_6=4$。
令$x=0$，得$(2×0^2 - 0 -1)^3 = a_6$，解得$a_6=-1$。
所以$a_0+a_2+a_4=4 - a_6 = 4 - (-1) = 5$。
【答案】
5
【知识点】
特殊值代入法，整体代入求值，多项式系数
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题关键是选择合适的特殊值代入多项式，通过整体加减消去不需要的奇次项系数，再结合常数项的求解得到最终结果，掌握$x=1$、$x=-1$、$x=0$这几个常用特殊值的代入技巧是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6
3.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法.它在多项式的化简与求值中应用非常广泛,例如,若$5a+3b=-4$,求代数式$2(a+b)+4(2a+b)$的值,其解法如下:
$2(a+b)+4(2a+b)=2a+2b+8a+4b=10a+6b=2(5a+3b)$.
当$5a+3b=-4$时,原式$=2×(-4)=-8$.
仿照上面的解题方法,解答下面的问题:
(1)若$a^2+a=1$,则$2a^2+2a+2018=$
2020
;
(2)已知$a-b=-3$,求$3(a-b)-5a+5b+5$的值;
(3)已知$a^2+2ab=-2$,$ab-2b^2=-4$,求$4a^2+\frac{11}{2}ab+5b^2$的值.
答案：3.(1)2020
(2)解:当$a-b=-3$时,
原式$=3a-3b-5a+5b+5$
$=-2a+2b+5=-2(a-b)+5$
$=-2×(-3)+5=11.$
(3)解:因为$a^2+2ab=-2,ab-2b^2=-4$,
所以$4a^2+8ab=-8$,①
$\frac{5}{2}ab-5b^2=-10$,②
所以①-②,得$4a^2+8ab-(\frac{5}{2}ab-5b^2)=-8-(-10)=2$,
即$4a^2+\frac{11}{2}ab+5b^2=2.$
解析：
【分析】
本题所有小题均采用整体思想求解，无需单独计算a、b的具体值：
1. 第(1)问观察待求式前两项可提取公因数2，恰好得到与已知式$a^2+a$相关的形式，直接整体代入计算即可；
2. 第(2)问先对待求式去括号、合并同类项，再提取公因式将式子变形为含$a-b$的形式，最后代入已知值计算；
3. 第(3)问需将两个已知等式分别扩大合适的倍数，使变形后的两个等式做减法运算后恰好得到目标代数式，再整体代入变形后的结果计算。
【解析】
(1) 已知$a^2+a=1$，对$2a^2+2a+2018$变形得：
$2a^2+2a+2018=2(a^2+a)+2018$
将$a^2+a=1$代入得：原式$=2×1+2018=2020$。
(2) 先化简待求式：
$3(a-b)-5a+5b+5=3a-3b-5a+5b+5=-2a+2b+5=-2(a-b)+5$
将$a-b=-3$代入得：原式$=-2×(-3)+5=6+5=11$。
(3) 已知$a^2+2ab=-2$ ①，$ab-2b^2=-4$ ②：
将①左右两边同时乘4，得$4a^2+8ab=-8$ ③；
将②左右两边同时乘$\frac{5}{2}$，得$\frac{5}{2}ab-5b^2=-10$ ④；
用③减去④：$4a^2+8ab-(\frac{5}{2}ab-5b^2)=-8-(-10)$
整理后得$4a^2+\frac{11}{2}ab+5b^2=2$。
【答案】
(1)$2020$；(2)$11$；(3)$2$
【知识点】
整体代入思想，代数式求值，整式的加减运算
【点评】
本题聚焦整体思想在代数式求值中的应用，核心是通过提公因式、等式变形将待求式转化为含已知代数式的形式，避免单独求解未知数，简化计算过程，能够有效锻炼学生的式子变形与整体观察能力。
【难度系数】
0.7
