7. 如图，D为Rt△ABC斜边BC的中点，过点D作BC的垂线，交AC于点E，且AE=DE，若BC=12，则AB=
6
。
答案：7.6
8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=10$,$BC=5$,线段$PQ=AB$,点$P$,$Q$分别在边$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AO$上运动,当$AP=\_\_\_\_\_\_$时,$△ ABC$和$△ PQA$全等.
答案：8.5或10
9.如图,在$Rt△ ABC$和$Rt△ A'B'C'$中,$∠ C=∠ C'=90°$,$AC=A'C'$,$AD$与$A'D'$分别为$BC$,$B'C'$边上的中线,且$AD=A'D'$.
求证:(1)$Rt△ ACD≌ Rt△ A'C'D'$;(2)$Rt△ ABC≌ Rt△ A'B'C'$.
答案：证明:(1)
∵∠C=∠C'=90°,
∴△ACD和△A'C'D'都是直角三角形.
在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中,$\begin{cases} AD=A'D',\\ AC=A'C', \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL).
(2)
∵Rt△ACD≌Rt△A'C'D',
∴CD=C'D'.
∵AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线,
∴CB=C'B'=2CD.
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,$\begin{cases} AC=A'C',\\ ∠C=∠C',\\ CB=C'B', \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS).
10.如图，AD是$△ ABC$的中线，$BE⊥ AD$，垂足为$E$，$CF⊥ AD$，交$AD$的延长线于点$F$，$G$是$DA$延长线上一点，连接$BG$。
(1)求证：$BE=CF$；
(2)若$BG=CA$，求证：$GA=2DE$。
答案：证明:(1)
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BED=∠F.
在△BED和△CFD中,$\begin{cases} ∠BED=∠CFD,\\ ∠BDE=∠CDF,\\ BD=CD, \end{cases}$
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴BE=CF.
(2)在Rt△BGE和Rt△CAF中,$\begin{cases} BG=CA,\\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BGE≌Rt△CAF(HL),
∴GE=AF,
∴AG=EF.
∵△BED≌△CFD,
∴DE=DF,
∴GA=2DE.
11.如图，AC平分∠BAF，CE⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且BC=DC。(1)求证:BE=DF；(2)若AB=21，AD=9，求DF的长。
第11题图
答案：(1)证明:
∵AC平分∠BAF,
∴∠CAE=∠CAF.
∵CE⊥AB,CF⊥AF,
∴∠CEA=∠CEB=∠F=90°.
又
∵AC=AC,
∴△ACE≌△ACF(AAS),
∴CE=CF.
又
∵BC=DC,
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL),
∴BE=DF.
(2)解:由(1)知△ACE≌△ACF,
∴AE=AF.
又由(1)知BE=DF,
∴AD+DF=AB-DF.
∵AB=21,AD=9,
∴9+DF=21-DF,
∴DF=6,即DF的长为6.
