8.如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为
100°
答案：8.100°
9.若等腰三角形一腰上的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为$40°$，则底角的度数为
25°或65°
。
答案：9.25°或65°
10. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE=∠BAD.
答案：10.证明:
∵AB=AC,AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=∠ADC=90°,
∴∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C,
∴∠CBE=∠CAD,
∴∠CBE=∠BAD.
11.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$。
(1)求证：$DE=DF$；
(2)如果$S_{△ ABC}=14$，$AC=7$，求$DE$的长。
答案：11.(1)证明:
∵AB=AC,D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC.
又
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
(2)解:
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,S△ABC=14,AB=AC=7,
∴1/2 AB×DE + 1/2 AC×DF=14,
∴1/2×7×DE + 1/2×7×DE=14,
∴DE=2.
12.(2025·常州期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是边AB上一点,$∠ BCD=∠ A$.过点B作$BE⊥ AC$,垂足为E,BE与CD相交于点F.
(1)求证:$∠ BCD=2∠ CBE$;
(2)若$△ BDF$是等腰三角形,请你直接写出$∠ A$的度数.
答案：12.(1)证明:设∠CBE=α,
∵BE⊥AC,
∴∠ACB=90°-α.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=90°-α,
∴∠ABC+∠ACB=180°-2α,
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=2α.
∵∠BCD=∠A,
∴∠BCD=2α,
∴∠BCD=2∠CBE.
(2)解:由(1)知,∠CBE=α,∠BCD=∠A=2α,∠ABC=∠ACB=90°-α.
∵∠BFD是△BCF的一个外角，
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=3α.
∵BE⊥AC,∠A=2α,
∴∠DBF=90°-∠A=90°-2α.
又
∵∠BDF=180°-(∠ABC+∠BCD)=180°-(90°-α+2α)=90°-α,
∴∠BDF＞∠DBF,
∴当△BDF是等腰三角形时,有以下两种情况：
①当BD=BF时,∠BDF=∠BFD,
∴90°-α=3α,解得α=22.5°,
∴∠A=2α=45°.
②当BD=DF时,∠DBF=∠BFD,
∴90°-2α=3α,解得α=18°,
∴∠A=2α=36°.
综上所述,∠A的度数是45°或36°.
