10.如图所示的正方形网格中，$△ ABC$和$△ CDE$的顶点都是网格线交点，那么$∠ BCA + ∠ DCE=$
$45°$
。
答案：10.$45°$
11.古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果$m$表示大于1的整数，$a=2m$，$b=m^2 -1$，$c=m^2 +1$，那么$a,b,c$称为勾股数.请说明理由.
答案：11.解:理由如下：
$\because m$表示大于1的整数,$a=2m,b=m^2-1,c=m^2+1,$
$\therefore c-a=m^2+1-2m=(m-1)^2＞0,\therefore c＞a.$
$\because a^2+b^2=(2m)^2+(m^2-1)^2=4m^2+m^4-2m^2+1=(m^2+1)^2,c^2=(m^2+1)^2,\therefore a^2+b^2=c^2,$
$\therefore a,b,c$为勾股数.
12.如图是一块地，已知$AD=8\ \mathrm{m}$，$CD=6\ \mathrm{m}$，$∠ D=90°$，$AB=26\ \mathrm{m}$，$BC=24\ \mathrm{m}$，求这块地的面积.
答案：12.解:如答图,连接AC.
$\because AD=8\ \mathrm{m},CD=6\ \mathrm{m},∠ D=90°,$
$\therefore AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{m}).$
$\because AB=26\ \mathrm{m},BC=24\ \mathrm{m},10^2+24^2=26^2,$
即$AC^2+BC^2=AB^2,$
$\therefore △ ABC$为直角三角形,$∠ ACB=90°,$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×10×24-\frac{1}{2}×6×8=96(\mathrm{m}^2).$
13.(2025·南师附中期中)如图,在$△ ABC$中,$CD⊥ AB$于点$D$.
(1)已知$AD=4$,$BD=1$,$CD=2$,求证:$∠ ACB=90°$.
(2)已知$∠ ACB=90°$.
①若$AD=3$,$BD=2$,求$CD$的长；
②若设$AD=m$,$BD=n$,$CD=k$,则$m$,$n$,$k$的数量关系为
$k^2=mn$
.
答案：13.(1)证明:$\because CD⊥ AB,AD=4,BD=1,CD=2,$
$\therefore AC^2=AD^2+CD^2=4^2+2^2=20,BC^2=CD^2+BD^2=2^2+1^2=5.$
$\because AB^2=(4+1)^2=25,$
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2,\therefore ∠ ACB=90°,$
(2)①解:设$CD=k$,则$AC^2=k^2+9,BC^2=k^2+4.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore AC^2+BC^2=AB^2,$
即$k^2+9+k^2+4=(3+2)^2=25$,解得$k=\sqrt{6}$(舍去负值),即$CD$的长为$\sqrt{6}$.
②$k^2=mn$
