23.(10分)如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，D，E分别是BC，MN的中点.
(1)求证:DE⊥MN；
(2)若BC=26，MN=10，求DE的长.
答案：23.(1)证明:如答图,连接DM,DN，
$\because$ BN,CM分别是$△ ABC$的两条高，
$\therefore BN⊥ AC, CM⊥ AB, \therefore ∠BMC=∠CNB=90°.$
$\because D$是$BC$的中点，
$\therefore DM=\frac{1}{2}BC, DN=\frac{1}{2}BC, \therefore DM=DN.$
$\because E$为$MN$的中点,$\therefore DE⊥ MN.$
(2)解:$\because BC=26, \therefore DM=\frac{1}{2}BC=13.$
$\because E$是$MN$的中点,$MN=10, \therefore ME=5,$
由勾股定理,得$DE=\sqrt{DM^2-ME^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12.$
24.(10分)古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果$m$表示大于1的整数，$a=2m$，$b=m^2 -1$，$c=m^2 +1$，那么$a,b,c$为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数.
答案：24.解:正确.理由:$\because m$表示大于1的整数，
$\therefore a,b,c$都是正整数,且$c$是最大边，
$\because (2m)^2+(m^2-1)^2=(m^2+1)^2$，
$\therefore a^2+b^2=c^2$,即$a,b,c$为勾股数.
当$m=2$时,可得一组勾股数3,4,5(答案不唯一).
