2. 阅读下列一段文字，解答问题.
【材料阅读】已知平面内两点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则由勾股定理可得，这两点间的距离为$MN=\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.
例如，已知点$M(3,1),N(1,-2)$，则$MN=\sqrt{(3 - 1)^2 + (1 + 2)^2}=\sqrt{13}$.
(1)【知识理解】已知点$P(2,4),Q(-3,-8)$，求$P,Q$两点间的距离；
(2)【知识运用】已知点$A(1,2),B(4,-2),O$是坐标原点，判断$△ AOB$是什么三角形，并说明理由；
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程，建立几何模型，求$\sqrt{x^2 + 9} + \sqrt{(16 - x)^2 + 81}$的最小值.
答案：2. 解:(1)$PQ=\sqrt{(-3-2)^2+(-8-4)^2}=13$.
(2)$△ AOB$是直角三角形,理由如下：
$\because A(1,2),O(0,0),B(4,-2),$
$\therefore OA=\sqrt{(0-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{5},$
$OB=\sqrt{(0-4)^2+(0+2)^2}=\sqrt{20},$
$AB=\sqrt{(4-1)^2+(-2-2)^2}=5,$
$\therefore OA^2+OB^2=5+20=25,AB^2=25,$
$\therefore OA^2+OB^2=AB^2,$
$\therefore △ AOB$是直角三角形.
(3)$\because \sqrt{x^2+9}=\sqrt{x^2+3^2},$
$\sqrt{(16-x)^2+81}=\sqrt{(16-x)^2+9^2}=\sqrt{(16-x)^2+(12-3)^2},$
$\therefore 可设C(x,3),D(16,12),O(0,0),$
则$OC=\sqrt{x^2+9},CD=\sqrt{(16-x)^2+81},$
$\therefore \sqrt{x^2+9}+\sqrt{(16-x)^2+81}$的最小值为$OD$的长,此时点$O,C,D$在同一条直线上.
$\because OD=\sqrt{16^2+12^2}=20,$
$\therefore \sqrt{x^2+9}+\sqrt{(16-x)^2+81}$的最小值为20.
