12. 计算：
(1) $\frac{1}{2} + (-\frac{2}{3}) + \frac{4}{5} + (-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{3})$；
(2) $0 - \frac{1}{2} - (-3.25) + 2\frac{3}{4} - \left| -7\frac{1}{2} \right|$。
答案：12. (1) 原式$=[\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})]+[(-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{3})]+\frac{4}{5}=0+(-1)+\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$.
(2) 原式$=0-\frac{1}{2}+3\frac{1}{4}+2\frac{3}{4}-7\frac{1}{2}=0-(\frac{1}{2}+7\frac{1}{2})+(3\frac{1}{4}+2\frac{3}{4})=0-8+6=-2$.
解析：
【分析】
这两道题均为有理数加减混合运算，解题时可利用加法交换律和结合律简化计算：
(1) 观察式子可发现存在互为相反数的$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，以及同分母的$-\frac{2}{3}$和$-\frac{1}{3}$，优先将这两组分别结合计算，再加上剩余的$\frac{4}{5}$即可快速得出结果，避免多次通分出错。
(2) 先根据去括号法则、绝对值的性质化简式子，再将分母为2的分数、分母为4的分数分别结合计算，降低计算量。
【解析】
(1) 利用加法交换律和结合律分组计算：
原式$=[\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})]+[(-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{3})]+\frac{4}{5}$
先计算每组的和：$\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})=0$，$(-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{3})=-1$
再计算总和：$0+(-1)+\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$
(2) 先化简符号和绝对值：$-(-3.25)=3.25=3\frac{1}{4}$，$\left|-7\frac{1}{2}\right|=7\frac{1}{2}$，代入原式得：
原式$=0-\frac{1}{2}+3\frac{1}{4}+2\frac{3}{4}-7\frac{1}{2}$
再分组结合同分母分数：
$=0-(\frac{1}{2}+7\frac{1}{2})+(3\frac{1}{4}+2\frac{3}{4})$
计算每组的和：$\frac{1}{2}+7\frac{1}{2}=8$，$3\frac{1}{4}+2\frac{3}{4}=6$
再计算总和：$0-8+6=-2$
【答案】
(1) $-\frac{1}{5}$；(2) $-2$
【知识点】
有理数加减混合运算，加法运算律应用，绝对值化简
【点评】
本题考查有理数加减运算的简便计算技巧，解题核心是观察式子中数字的特征，灵活运用加法交换律和结合律，将互为相反数、同分母的数优先合并计算，能够有效减少计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.75
典例13 新素养 运算能力 下列计算正确的是（
）
A.$(-1)×(-2)×(-3)=6$
B.$(-36)÷(-9)=-4$
C.$\frac{2}{3}×(-\frac{9}{4})÷(-1)=\frac{1}{2}$
D.$(-4)÷\frac{1}{2}×(-2)=16$
【思路点拨】$(-1)×(-2)×(-3)=-6$，故选项A不合题意；$(-36)÷(-9)=4$，故选项B不合题意；$\frac{2}{3}×(-\frac{9}{4})÷(-1)=\frac{3}{2}$，故选项C不合题意；$(-4)÷\frac{1}{2}×(-2)=16$，故选项D符合题意。
【答案】D
答案：D
解析：
【分析】
本题考查有理数的乘除混合运算，解题时需逐个验证每个选项的运算结果是否正确：运算时先根据“同号得正，异号得负”，结合负因数的个数确定结果的符号，再计算绝对值的乘除，最后对比结果判断选项正误即可。
【解析】
我们依次计算每个选项：
A选项：$(-1)×(-2)×(-3)$，共有3个负因数，结果为负，绝对值计算：$1×2×3=6$，故结果为$-6$，A错误。
B选项：$(-36)÷(-9)$，两数相除同号得正，绝对值计算：$36÷9=4$，故结果为$4$，B错误。
C选项：$\frac{2}{3}×(-\frac{9}{4})÷(-1)$，先算乘法：$\frac{2}{3}×(-\frac{9}{4})=-\frac{3}{2}$，再算除法：$-\frac{3}{2}÷(-1)=\frac{3}{2}$，结果不是$\frac{1}{2}$，C错误。
D选项：$(-4)÷\frac{1}{2}×(-2)$，先将除法转为乘法：$(-4)×2×(-2)$，共有2个负因数，结果为正，绝对值计算：$4×2×2=16$，故结果为$16$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法运算，有理数除法运算，有理数乘除混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点是运算过程中忽略符号判断，计算时牢记先定符号再算绝对值，能有效提升正确率。
【难度系数】
0.8
13. 计算: $(-81)÷\frac{9}{4}×\frac{4}{9}÷(-16)$
答案：13. 原式$=(-81)× \frac{4}{9}× \frac{4}{9}× (-\frac{1}{16})=1$.
解析：
【分析】
本题属于有理数的乘除混合运算，解题思路如下：①先根据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，把所有除法运算统一转化为乘法运算；②根据有理数乘法的符号法则：几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时结果为正，负因数个数为奇数时结果为负，先确定最终结果的符号；③再计算所有因数绝对值的乘积，计算过程中优先约分可以简化运算，避免出错。
【解析】
解：首先将除法统一为乘法：
原式$=(-81)×\frac{4}{9}×\frac{4}{9}×(-\frac{1}{16})$
先确定符号：式子中共有2个负因数，个数为偶数，因此结果为正，可将负号抵消得：
$=81×\frac{4}{9}×\frac{4}{9}×\frac{1}{16}$
逐步约分计算：
$81×\frac{4}{9}=36$，$36×\frac{4}{9}=16$，$16×\frac{1}{16}=1$
【答案】
1
【知识点】
有理数乘除混合运算，倒数的定义，有理数乘法符号法则
【点评】
本题是有理数运算的常规题型，解题时需注意乘除属于同级运算，要从左到右依次计算，不可随意调换运算顺序；将除法转化为乘法后先定符号再算绝对值，能有效减少符号错误，计算时灵活约分可提升运算效率。
【难度系数】
0.7
典例⑭ 观察下列运算：$8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4096,8^5=32768,8^6=262144,···,$则$8^1+8^2+8^3+8^4+···+8^{2026}$的个位上的数字是
。
答案：$\boldsymbol{2}$
解析：
【分析】
要求这个和的个位数字，不需要计算每个乘方的具体数值，只需观察各加数的个位数字规律即可。首先先找出8的n次幂的个位数字的循环周期，再计算一个周期内个位数字之和的个位，最后根据总项数除以周期得到的商和余数，计算总和的个位数字。
【解析】
首先观察8的n次方的个位数字规律：
$8^1$的个位数字是8，
$8^2$的个位数字是4，
$8^3$的个位数字是2，
$8^4$的个位数字是6，
$8^5$的个位数字是8，
……
可得个位数字以8、4、2、6为一个周期循环，周期长度为4。
每个周期内4个数的个位数字之和为：$8+4+2+6=20$，即一个周期的和的个位数字为0。
计算总项数2026包含多少个完整周期：$2026÷4=506······2$，即有506个完整周期，还余2个项，对应的个位数字是周期的前两个：8和4。
则总和的个位数字为：$506×0 +8+4=12$，个位数字是2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究；周期问题
【点评】
本题解题的核心是通过观察找到乘方个位数字的循环规律，避免计算庞大的乘方数值，只需针对个位数字进行运算即可，体现了规律探究类题目的解题技巧。
【难度系数】
0.6
