14. 已知$4^{2n}-1=(4^{n}+1)(4^{n}-1)$，$n$为正整数，如：$4^{8}-1=(4^{4}+1)×(4^{4}-1)$，则按此规律推算$4^{8}-1$的结果一定能（
D
）
A.被12整除
B.被13整除
C.被14整除
D.被15整除
答案：14. D
解析：
【分析】
题目已经给出了形如$4^{2n}-1$的式子的分解规律，要判断$4^8-1$能被哪个选项整除，只需要反复运用这个规律，把$4^8-1$逐步分解，直到分解出常数因数，再对应判断哪个选项是它的因数即可。
【解析】
解：根据题目给出的规律$4^{2n}-1=(4^n+1)(4^n-1)$，对$4^8-1$逐步分解：
1. 将8看作$2×4$，可得：$4^8 -1 = (4^4 +1)(4^4 -1)$
2. 对$4^4 -1$，将4看作$2×2$，继续用规律分解：$4^4 -1=(4^2 +1)(4^2 -1)$，代入上式得：
$4^8 -1 = (4^4 +1)(4^2 +1)(4^2 -1)$
3. 对$4^2 -1$，将2看作$2×1$，继续用规律分解：$4^2 -1=(4^1 +1)(4^1 -1)=(4+1)(4-1)$，代入得：
$4^8 -1 = (4^4 +1)(4^2 +1)×(4+1)×(4-1)$
计算常数项乘积：$(4+1)×(4-1)=5×3=15$，说明15是$4^8-1$的因数，因此$4^8-1$一定能被15整除。
其余选项验证：$4^n$都是偶数，因此$4^n+1$、$4^n-1$均为奇数，整个乘积结果是奇数，不可能被偶数12、14整除；分解得到的所有因数中没有13，因此也不能被13整除。
【答案】
D
【知识点】
规律探究应用，有理数乘方，整除判定
【点评】
本题属于规律应用类题型，解题核心是读懂题干给出的分解规则，反复运用规则拆分原式得到常数因数，即可快速判断整除性，重点考查对新规律的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
典例15 新趋势 传统文化《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟.六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：$6$粟$=1$圭，$10$圭$=1$撮，$10$撮$=1$抄，$10$抄$=1$勺，$10$勺$=1$合，则$8$合为（
）
A.$4.8×10^{4}$粟
B.$4.8×10^{5}$粟
C.$8×10^{4}$粟
D.$8×10^{5}$粟
【思路点拨】由题意，得$8$合$=8×10×10×10×10×6=480000$(粟)，即$8$合$=4.8×10^{5}$粟.
【答案】B
答案：B
解析：
【分析】
这是一道结合传统文化的单位换算题，解题时首先要梳理清楚从“合”到“粟”的各级单位进率：从合到勺、勺到抄、抄到撮、撮到圭，每级进率都是10，从圭到粟进率是6。解题思路是先将“合”逐步向下换算到“粟”，计算出总粟数后再转化为科学记数法的规范形式，最后匹配选项即可。
【解析】
根据题意列出单位换算关系：
1合=10勺，1勺=10抄，1抄=10撮，1撮=10圭，1圭=6粟
则8合换算为粟的计算过程为：
$8合=8×10×10×10×10×6$粟
先计算乘法：$8×6=48$，$10×10×10×10=10^4$，可得$48×10^4$粟
将结果改写为科学记数法（满足$1≤a＜10$的要求）：$48×10^4=4.8×10^5$粟
【答案】
B
【知识点】
单位换算；科学记数法；有理数乘法
【点评】
本题结合古代计量单位的传统文化背景，考查单位换算和科学记数法的实际应用，解题的关键是准确梳理各级单位的进率，注意科学记数法的书写要符合规范要求。
【难度系数】
0.7
15. 光年是天文学上的一种长度单位，一光年是指光在一年内走过的路程，用科学记数法表示约为$9.46×10^{n}\ \mathrm{km}$. 已知原数中“0”的个数为10，则$n$的值为（
C
）
A.10
B.11
C.12
D.13
答案：15. C
解析：
【分析】
解题时首先回忆科学记数法的定义：把大于10的数表示为$a×10^n$（$1≤ a＜10$，$n$为正整数）的形式，其中$n$的值等于原数的整数位数减1。已知$a=9.46$，共有3个非0数字，题目给出原数中0的个数为10，可先算出原数的总整数位数，再根据$n$和整数位数的关系求出$n$的值。
【解析】
根据科学记数法的定义，$a×10^n$（$1≤ a＜10$，$n$为正整数）中，$n=$原数的整数位数$-1$。
本题中$a=9.46$，包含9、4、6共3个非0数字，已知原数中0的个数为10，因此原数的总整数位数为：$3+10=13$。
则$n=13-1=12$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 科学记数法的表示
2. 科学记数法与原数的转换
【点评】
本题考查科学记数法的基本应用，解题核心是掌握科学记数法中指数$n$与原数整数位数的对应关系，熟悉相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.7
典例16 计算：
(1) $(-\dfrac{7}{9}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4})×(-36)$；
(2) $-1^4+3×(-2)^2-(-2)^3÷|-4|$。
【思路点拨】(1) 可利用乘法分配律将括号内的每一项与－36相乘，避免通分，简化计算步骤；
(2) 需注意乘方的符号问题，$-1^4$表示$1^4$的相反数，结果为－1，同时要先计算绝对值，再依次进行乘除、加减运算。
【答案】(1) 原式$=(-\dfrac{7}{9})×(-36)+\dfrac{5}{6}×(-36)+(-\dfrac{3}{4})×(-36)=28-30+27=25$。
(2) 原式$=-1+3×4-(-8)÷4=-1+12-(-2)=-1+12+2=13$。
名师大招▶一级运算:加、减;二级运算:乘、除;三级运算:乘方、绝对值。运算时要注意,有括号,先算括号里的,无括号,先算高级运算。
答案：解：
(1) 原式$=(-\dfrac{7}{9})×(-36)+\dfrac{5}{6}×(-36)+(-\dfrac{3}{4})×(-36)$
$=28 - 30 + 27$
$=25$
(2) 原式$=-1 + 3×4 - (-8)÷4$
$=-1 + 12 - (-2)$
$=-1 + 12 + 2$
$=13$
解析：
【分析】
(1) 观察算式发现-36是括号内三个分数分母9、6、4的公倍数，可利用乘法分配律，将括号内每一项分别与-36相乘，无需通分就能简化计算，计算时注意各项相乘的符号即可。
(2) 本题是有理数混合运算，需遵循“先算三级运算（乘方、绝对值），再算二级运算（乘除），最后算一级运算（加减）”的顺序：首先要注意$-1^4$表示$1^4$的相反数，结果为-1，先算出所有乘方和绝对值的结果，再依次计算乘除，最后算加减，计算时注意负号的处理。
【解析】
(1) 原式$=(-\dfrac{7}{9})×(-36)+\dfrac{5}{6}×(-36)+(-\dfrac{3}{4})×(-36)$
$=28 - 30 + 27$
$=25$
(2) 原式$=-1 + 3×4 - (-8)÷4$
$=-1 + 12 - (-2)$
$=-1 + 12 + 2$
$=13$
【答案】
(1) $\boxed{25}$；(2) $\boxed{13}$
【知识点】
1. 乘法分配律
2. 有理数混合运算
3. 乘方与绝对值运算
【点评】
这是有理数运算的典型基础题，第一问重在考查运算律的灵活运用，合理选择简便方法能有效减少计算量、降低出错概率；第二问需要准确掌握运算顺序和特殊乘方的符号规则，避免符号错误是解题的核心要点。
【难度系数】
0.7
