例题3 如图14-4-3(a)所示的电路，当开关S断开、滑动变阻器的滑片P位于b端时，电流表的示数为0.2 A；当开关S闭合，滑动变阻器的滑片P位于a端时，电流表的示数为1 A，且灯泡正常发光。若不计温度对灯丝电阻的影响，电源电压不变且大于8 V，$R_1=15\ \Omega$，滑动变阻器R的最大阻值为20 Ω，求灯泡的电阻和灯泡正常工作时的电压。
解 析 画出滑片P分别在b端和a端时电阻的连接方式，然后列出总电压、电流和电阻的关系式。
已知$R_1=15\ \Omega$，$R_{ab}=20\ \Omega$，$U＞8\ \mathrm{V}$。
当S断开，滑片在b端时，等效电路如图14-4-3(b)所示；当S闭合，滑片在a端时，等效电路如图14-4-3(c)所示。根据欧姆定律分别可得：
$I=\frac{U}{R_{\mathrm{L}}+R_{ab}}; \quad I'=\frac{U}{R_{\mathrm{L}}}+\frac{U}{R_1}。$
$U$不变，将$R_1$、$R_{ab}$代入，得：
$U=6\ \mathrm{V}$(舍去)和$U=10\ \mathrm{V}$，$R_{\mathrm{L}}=30\ \Omega$。
灯泡的电阻为30 Ω，灯泡正常工作时的电压为10 V。
说 明 不能直接计算得出的结果可以列方程解题。首先找出题目中不变的物理量(没有数值的可以用符号代替)，然后分析它们在各个状态时的关系，列出关系式，各个关系式之间组成方程组，最后代入数据解出结果。通常，所得的结果需要回到题目检验，将不符合的结果舍去。
答案：解：
已知$R_1=15\ \Omega$，滑动变阻器最大阻值$R_{ab}=20\ \Omega$，电源电压$U＞8\ \mathrm{V}$。
当开关S断开、滑片P位于b端时，灯泡$R_\mathrm{L}$与滑动变阻器最大阻值串联，电路电流$I=0.2\ \mathrm{A}$，由欧姆定律得：
$U = I(R_\mathrm{L} + R_{ab}) = 0.2\ \mathrm{A} × (R_\mathrm{L} + 20\ \Omega) \tag{1}$
当开关S闭合、滑片P位于a端时，灯泡$R_\mathrm{L}$与$R_1$并联，电流表测干路总电流$I'=1\ \mathrm{A}$，根据并联电路电流规律和欧姆定律得：
$I' = \frac{U}{R_\mathrm{L}} + \frac{U}{R_1}$
代入已知数据得：
$1\ \mathrm{A} = \frac{U}{R_\mathrm{L}} + \frac{U}{15\ \Omega} \tag{2}$
将式(1)代入式(2)整理后解得两组解：
$\begin{cases} R_{\mathrm{L}1}=10\ \Omega \\ U_1=6\ \mathrm{V} \end{cases}$，$\begin{cases} R_{\mathrm{L}2}=30\ \Omega \\ U_2=10\ \mathrm{V} \end{cases}$
结合题目条件电源电压$U＞8\ \mathrm{V}$，舍去不符合要求的$U_1=6\ \mathrm{V}$。
此时灯泡正常发光，灯泡正常工作的电压等于电源电压。
答：灯泡的电阻为$30\ \Omega$，灯泡正常工作时的电压为$10\ \mathrm{V}$。
解析：
【分析】
本题需分两种电路状态分析：①开关S断开、滑片P在b端时，灯泡与滑动变阻器最大阻值串联，根据欧姆定律列出电源电压的表达式；②开关S闭合、滑片P在a端时，灯泡与R₁并联，电流表测干路电流，根据并联电路特点和欧姆定律列出电源电压的另一表达式；联立两个表达式组成方程组，结合电源电压大于8V的条件舍去不符合的解，即可得到灯泡电阻和正常工作电压。
【解析】
已知$R_1=15\ \Omega$，滑动变阻器最大阻值$R_{ab}=20\ \Omega$，电源电压$U＞8\ \mathrm{V}$。
1. 当开关S断开、滑片P位于b端时，灯泡$R_\mathrm{L}$与滑动变阻器最大阻值串联，电路电流$I=0.2\ \mathrm{A}$，根据欧姆定律$U=IR_\mathrm{总}$，得：
$U = I(R_\mathrm{L} + R_{ab}) = 0.2\ \mathrm{A} × (R_\mathrm{L} + 20\ \Omega) \tag{1}$
2. 当开关S闭合、滑片P位于a端时，灯泡$R_\mathrm{L}$与$R_1$并联，电流表测干路总电流$I'=1\ \mathrm{A}$，根据并联电路电压规律（各支路电压等于电源电压）和电流规律（干路电流等于各支路电流之和），结合欧姆定律得：
$I' = \frac{U}{R_\mathrm{L}} + \frac{U}{R_1}$
代入已知数据得：$1\ \mathrm{A} = \frac{U}{R_\mathrm{L}} + \frac{U}{15\ \Omega} \tag{2}$
将式（1）代入式（2），整理后解得两组解：
$\begin{cases} R_{\mathrm{L}1}=10\ \Omega \\ U_1=6\ \mathrm{V} \end{cases}$，$\begin{cases} R_{\mathrm{L}2}=30\ \Omega \\ U_2=10\ \mathrm{V} \end{cases}$
结合题目条件电源电压$U＞8\ \mathrm{V}$，舍去不符合要求的$U_1=6\ \mathrm{V}$，因此$R_\mathrm{L}=30\ \Omega$；灯泡正常工作时的电压等于电源电压，为$10\ \mathrm{V}$。
【答案】
灯泡的电阻为$30\ \Omega$，灯泡正常工作时的电压为$10\ \mathrm{V}$。
【知识点】
欧姆定律；串并联电路特点
【点评】
本题需分状态分析电路连接方式，利用串并联电路规律和欧姆定律列方程组求解，关键是结合题目给出的电源电压条件舍去不符合的解，考查学生的电路分析与方程求解能力。
【难度系数】
0.5
