4. 如图，$∠ A=∠ B=90°$，点E在AB上，$AE=BC$，$DE=CE$。
（1）$\mathrm{Rt}△ ADE$与$\mathrm{Rt}△ BEC$全等吗？说明理由。
（2）$△ CDE$是直角三角形吗？说明理由。
答案：解：(1) $\mathrm{Rt}△ ADE$与$\mathrm{Rt}△ BEC$全等，理由如下：
$\because ∠ A = ∠ B = 90°$，
$\therefore △ ADE$和$△ BEC$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ BEC$中，
$\begin{cases} DE = CE \\ AE = BC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ BEC (\mathrm{HL})$。
(2) $△ CDE$是直角三角形，理由如下：
$\because \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ BEC$，
$\therefore ∠ AED = ∠ BCE$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$∠ B = 90°$，
$\therefore ∠ BCE + ∠ BEC = 90°$，
$\therefore ∠ AED + ∠ BEC = 90°$。
$\because$ 点$E$在$AB$上，$∠ AED + ∠ DEC + ∠ BEC = 180°$，
$\therefore ∠ DEC = 180° - (∠ AED + ∠ BEC) = 90°$，
$\therefore △ CDE$是直角三角形。
5. 如图，在$△ ABC$中，$BD$，$CE$分别是边$AC$和$AB$上的高，$BD=CE$. 求证：$BE=CD$.
答案：证明：
∵ BD，CE分别是边AC和AB上的高，
∴ ∠BEC = ∠CDB = 90°，
∴ △BCE和△CBD都是直角三角形。
在Rt△BCE和Rt△CBD中，
$\{\begin{array}{l}BC = CB \\CE = BD\end{array} $
∴ Rt△BCE ≌ Rt△CBD（HL），
∴ BE = CD。
6. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，点$E$在边$AC$上，$AD$，$BE$相交于点$H$，且$BH=AC$，$DH=DC$. $BE$与$AC$有怎样的位置关系？证明你的结论.
答案：证明：$BE⊥ AC$，证明如下：
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
$\therefore △ BDH$和$△ ADC$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$和$\mathrm{Rt}△ ADC$中，
$\begin{cases} BH = AC \\ DH = DC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDH ≌ \mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ HBD = ∠ CAD$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ CAD + ∠ C = 90°$，
$\therefore ∠ HBD + ∠ C = 90°$，
$\therefore$ 在$△ BEC$中，$∠ BEC = 180° - (∠ HBD + ∠ C) = 90°$，
$\therefore BE⊥ AC$。
7. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=10$,$BC=5$,过点A作$QA⊥ AC$,垂足为A,点P,Q分别在边AC和射线AQ上运动,运动过程中保持$PQ=AB$.点P运动到线段AC上什么位置时,点A,P,Q组成的三角形与$Rt△ ABC$全等?
答案：解：
∵ ∠C=90°，QA⊥AC，
∴ ∠PAQ=90°，
即△ABC和△PQA都是直角三角形。
分两种情况讨论：
① 当AP=BC=5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
$\{\begin{array}{l} AB=QP \\ BC=PA \end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△QPA（HL），
此时AP=5，点P为AC的中点。
② 当AP=AC=10时，
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
$\{\begin{array}{l} AB=PQ \\ AC=PA \end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△PQA（HL），
此时AP=10，点P与点C重合。
综上，当点P运动到AC的中点，或与点C重合时，△APQ与Rt△ABC全等。
