如图1-13,要在一条笔直的路边l上修建一个燃气站,向l同侧的A,B两个城镇分别铺设管道输送燃气.要求燃气站到A,B两个城镇的距离相等,该燃气站应修建在什么位置?在图上标出它的位置.
图1-13
答案：解：
作法：
1. 连接点A、B；
2. 作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P。
点P即为所求的燃气站的位置。
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得PA=PB，点P满足到A、B两个城镇距离相等的要求。
例1 如图1-14，在△ABC中，BC=8，边BC的垂直平分线分别与边AB，BC相交于点E，D，BE=5. 求△BCE的周长.
图1-14
答案：解：
∵ ED是BC的垂直平分线，
∴ EC = BE = 5。
又∵ BC = 8，
∴ △BCE的周长 = BE + EC + BC = 5 + 5 + 8 = 18。
例2 如图1-15,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$O$是$△ ABC$内一点,且$OB=OC$.求证:直线$AO$垂直平分线段$BC$.
答案：证明：
∵ AB = AC，
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
又∵ OB = OC，
∴ 点O在线段BC的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AO垂直平分线段BC。
1.（1）线段垂直平分线上的点到
的距离相等.
如图，∵ 点P在线段AB的垂直平分线l上，
∴
=
.
（2）到
的距离相等的点在线段垂直平分线上.
如图，∵
=
，
∴ 点P在线段AB的垂直平分线l上.
答案：解：
（1）线段两个端点；$PA$；$PB$
（2）线段两个端点；$PA$；$PB$
2.（1）如图，在$△ ABC$中，$DE$，$EF$分别是边$AB$，$AC$的垂直平分线，$AE=3$，$BC=5$，则$△ BCE$的周长是
。
（2）如图，$AB=4$，$PA=PB$，$QA=QB$，连接$PQ$，交$AB$于点$C$，则$AC=$
。
答案：(1) $\boldsymbol{11}$；(2) $\boldsymbol{2}$
解析：
解：(1)
∵ DE是边AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴ BE = AE = 3。
∵ EF是边AC的垂直平分线，点E在EF上，
∴ CE = AE = 3。
∴ △BCE的周长 = BE + CE + BC = 3 + 3 + 5 = 11。
(2)
∵ PA = PB，QA = QB，
∴ 点P、Q都在AB的垂直平分线上，
∴ 直线PQ是AB的垂直平分线，
∴ 点C是AB的中点，
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 4$ = 2。
