6. 一个正方体木块的体积是$1000\ \mathrm{cm}^3$，把它锯成8块同样大小的正方体小木块，小木块的棱长是多少？
答案：解：设小木块的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $。
每块小正方体木块的体积为$ \frac{1000}{8} = 125 \, \mathrm{cm}^3 $，
由正方体体积公式可得：$ x^3 = 125 $，
解得$ x = \sqrt[3]{125} = 5 $。
答：小木块的棱长是$ 5\ \mathrm{cm} $。
7. (1) 计算：
① $(\sqrt[3]{-8})^3=$
；② $(\sqrt[3]{2})^3=$
；
③ $(\sqrt[3]{-3})^3=$
；④ $\sqrt[3]{(-3)^3}=$
.
(2) 由第(1)题的计算结果，你有什么发现？
(3) 你能根据立方根的定义等知识说明你发现的理由吗？
答案：解：
(1) ① $\boldsymbol{-8}$；
② $\boldsymbol{2}$；
③ $\boldsymbol{-3}$；
④ $\boldsymbol{-3}$。
(2) 发现：对于任意实数$a$，都有$(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$。
(3) 理由：根据立方根的定义：如果一个数的立方等于$a$，那么这个数叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。
由定义可知，将$\sqrt[3]{a}$立方后，结果必然等于$a$，即$(\sqrt[3]{a})^3 = a$；
同时，$a^3$的立方根是满足$x^3=a^3$的数，显然$a^3=a^3$，因此$\sqrt[3]{a^3}=a$。
综上可得$(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$。
8. 我们知道$a+b=0$时，$a^3+b^3=0$也成立，若将$a$看成$a^3$的立方根，$b$看成$b^3$的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立。
（2）你能利用所学知识证明上述猜测吗？
（3）若$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，求$1-\sqrt{x}$的值。
答案：解：
(1) 举例：取8和-8，$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，2与-2互为相反数，8与-8也互为相反数，可知该猜测结论成立。
(2) 证明：设数$m$的立方根为$a$，数$n$的立方根为$b$，由题意得$a+b=0$，即$a=-b$。
根据立方根的定义，可得$m=a^3$，$n=b^3$，
因此$m=(-b)^3=-b^3=-n$，即$m+n=0$，
所以$m$与$n$互为相反数，即若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。
(3) 由上述结论可知，$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，则它们的被开方数互为相反数，即：
$1-2x+3x-5=0$
解得$x=4$。
将$x=4$代入$1-\sqrt{x}$，得$1-\sqrt{4}=1-2=-1$。
