如图2-2，半径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点$O'$.点$O'$所表示的是什么数？这个数是有理数吗？
图2-2
答案：解：
半径为1个单位长度的圆的周长为$C=2π r=2π×1=2π$。
圆从原点沿数轴向右滚动一周，点$O'$到原点的距离等于该圆的周长，因此点$O'$所表示的数是$2π$。
$2π$是无限不循环小数，不属于有理数，即这个数不是有理数。
答：点$O'$所表示的数是$2π$，这个数不是有理数。
例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
$\sqrt{289},\frac{1}{2},\sqrt{5},\frac{22}{7},0.2020020002···$(每两个2之间0的个数逐次增加),$\sqrt[3]{-27},\frac{π}{3},-0.\dot{8}\dot{9},\sqrt[3]{9}.$
答案：解：
先化简可计算的根式：
$\sqrt{289}=17$，$\sqrt[3]{-27}=-3$。
根据有理数、无理数的定义：
有理数有：$\sqrt{289},\frac{1}{2},\frac{22}{7},\sqrt[3]{-27},-0.\dot{8}\dot{9}$；
无理数有：$\sqrt{5},0.2020020002···$(每两个2之间0的个数逐次增加),$\frac{π}{3},\sqrt[3]{9}$。
例2 判断$\frac{\sqrt{5} -1}{2}$与1的大小.
答案：解：
∵ $\sqrt{5} ＜ \sqrt{9} = 3$，
∴ $\sqrt{5} - 1 ＜ 3 - 1 = 2$，
∴ $\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ \frac{2}{2} = 1$，
即 $\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ 1$。
答案：解：$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$π$，$\sqrt{5}$（答案不唯一）
