2002年国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会。这次大会的会徽(图3-1)选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弘扬了我国古代的数学文化。弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形。如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么你能求出$(a+b)^2$的值吗？
图3-1
答案：解：
由题意，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = 13$
四个全等直角三角形的总面积为大正方形面积减去小正方形面积：
$4×\frac{1}{2}ab = 13 - 1 = 12$
即 $2ab = 12$
由完全平方公式展开得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2+b^2=13$，$2ab=12$代入上式：
$(a+b)^2 = 13 + 12 = 25$
答：$(a+b)^2$的值为25。
例1 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，两条直角边分别为$a,b$，斜边为$c$.
（1）已知$a=6,c=10$，求$b$；
（2）已知$a=40,b=9$，求$c$；
（3）已知$b=8,c=17$，求$a$.
答案：解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 已知$a=6,c=10$，
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$。
(2) 已知$a=40,b=9$，
$c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{40^2 + 9^2}=\sqrt{1600+81}=\sqrt{1681}=41$。
(3) 已知$b=8,c=17$，
$a=\sqrt{c^2 - b^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$。
例2 在数轴上画出$-\sqrt{2}$对应的点.
答案：解：
1. 画数轴，确定原点$O$、正方向和单位长度；
2. 在数轴上原点左侧取点$A$，使$OA=1$个单位长度，过点$A$作数轴的垂线；
3. 在垂线上向上截取$AB=1$个单位长度，连接$OB$，
由勾股定理得：$OB=\sqrt{OA^2 + AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
4. 以点$O$为圆心，$OB$长为半径作弧，弧与数轴负半轴的交点，就是$-\sqrt{2}$对应的点。
