17. 某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为 $3000\ \mathrm{m}^3$，原有水量分别为 $1200\ \mathrm{m}^3$，$300\ \mathrm{m}^3$，现向甲、乙水池同时注水，直至两水池均注满为止. 已知每分钟向甲、乙水池的注水量之和恒定为 $100\ \mathrm{m}^3$，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水. 设注水第 $x\ \mathrm{min}$ 时，甲、乙水池中的水量分别为 $y_1\ \mathrm{m}^3$，$y_2\ \mathrm{m}^3$.
（1）若每分钟向甲注水 $40\ \mathrm{m}^3$，分别写出 $y_1,y_2$ 关于 $x$ 的函数表达式；
（2）若每分钟向甲注水 $50\ \mathrm{m}^3$，画出 $y_2$ 关于 $x$ 的函数图象；
（3）若每分钟向甲注水 $a\ \mathrm{m}^3$，则甲比乙提前 $3\ \mathrm{min}$ 注满，求 $a$ 的值.
答案：解：
（1）每分钟向乙水池注水量为$100-40=60\ \mathrm{m}^3$。
甲水池注满所需时间：$\dfrac{3000-1200}{40}=45\ \mathrm{min}$，
乙水池注满所需时间：$\dfrac{3000-300}{60}=45\ \mathrm{min}$。
因此$y_1$关于$x$的函数表达式为：
$y_1=1200+40x\quad(0≤ x≤45)$
$y_2$关于$x$的函数表达式为：
$y_2=300+60x\quad(0≤ x≤45)$
（2）初始每分钟向乙水池注水量为$100-50=50\ \mathrm{m}^3$。
甲水池注满所需时间：$\dfrac{3000-1200}{50}=36\ \mathrm{min}$，
注水$36\ \mathrm{min}$时，乙水池水量为$300+50×36=2100\ \mathrm{m}^3$，
之后停止向甲注水，以$100\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$的速度单独向乙注水，乙注满剩余水量所需时间：$\dfrac{3000-2100}{100}=9\ \mathrm{min}$，乙总注满时间为$45\ \mathrm{min}$。
$y_2$的分段表达式为：
当$0≤ x≤36$时，$y_2=300+50x$；
当$36＜x≤45$时，$y_2=100x-1500$。
函数图象为连接点$(0,300)$与$(36,2100)$的线段，以及连接点$(36,2100)$与$(45,3000)$的线段。
（3）甲水池注满所需时间为$t_1=\dfrac{3000-1200}{a}=\dfrac{1800}{a}\ \mathrm{min}$，初始阶段乙的注水速度为$(100-a)\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$。
若甲先注满，此时乙水池剩余需注水量为$3000-[300+(100-a)·\dfrac{1800}{a}]$，剩余水量以$100\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$的速度注入，由甲比乙提前$3\ \mathrm{min}$注满，得剩余注水时间为$3\ \mathrm{min}$：
$\dfrac{2700-\dfrac{1800(100-a)}{a}}{100}=3$
整理得：
$2700a-1800(100-a)=300a$
$4200a=180000$
解得$a=\dfrac{300}{7}$。
若乙先注满，乙注满后甲仍需单独注水，甲总注满时间大于乙注满时间，不符合甲比乙提前注满的条件，该情况不存在。
经检验，$a=\dfrac{300}{7}$符合题意。
综上，$a$的值为$\dfrac{300}{7}$。
解析：
【分析】
（1）先根据甲乙总注水速度求出乙的注水速度，再分别计算甲、乙水池注满所需的时间，发现二者注满时间相同，直接根据“现有水量=原有水量+注水速度×注水时间”写出函数表达式，标注自变量取值范围即可。
（2）先算出乙初始注水速度，再求出甲水池注满的时间，计算该时刻乙水池的水量；甲注满后仅向乙注水，注水速度变为100m³/min，再计算乙剩余水量注满的时间，得到y₂的分段函数，最后根据分段函数的端点坐标绘制两段线段即可。
（3）先表示出甲注满的时间，因为甲比乙提前3分钟注满，可知甲先注满，先计算甲注满时乙已有的水量，再根据乙剩余水量以100m³/min的速度注水3分钟刚好注满列方程求解；同时排除乙先注满的不符合题意的情况，最后检验解的合理性。
【解析】
（1）每分钟向乙水池注水量为$100-40=60\ \mathrm{m}^3$。
甲水池注满所需时间：$\dfrac{3000-1200}{40}=45\ \mathrm{min}$，
乙水池注满所需时间：$\dfrac{3000-300}{60}=45\ \mathrm{min}$。
因此$y_1$关于$x$的函数表达式为：
$y_1=1200+40x\quad(0≤ x≤45)$
$y_2$关于$x$的函数表达式为：
$y_2=300+60x\quad(0≤ x≤45)$
（2）初始每分钟向乙水池注水量为$100-50=50\ \mathrm{m}^3$。
甲水池注满所需时间：$\dfrac{3000-1200}{50}=36\ \mathrm{min}$，
注水$36\ \mathrm{min}$时，乙水池水量为$300+50×36=2100\ \mathrm{m}^3$，
之后停止向甲注水，以$100\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$的速度单独向乙注水，乙注满剩余水量所需时间：$\dfrac{3000-2100}{100}=9\ \mathrm{min}$，乙总注满时间为$45\ \mathrm{min}$。
$y_2$的分段表达式为：
当$0≤ x≤36$时，$y_2=300+50x$；
当$36＜x≤45$时，$y_2=100x-1500$。
函数图象为连接点$(0,300)$与$(36,2100)$的线段，以及连接点$(36,2100)$与$(45,3000)$的线段。
（3）甲水池注满所需时间为$t_1=\dfrac{3000-1200}{a}=\dfrac{1800}{a}\ \mathrm{min}$，初始阶段乙的注水速度为$(100-a)\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$。
若甲先注满，此时乙水池剩余需注水量为$3000-[300+(100-a)·\dfrac{1800}{a}]$，剩余水量以$100\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$的速度注入，由甲比乙提前$3\ \mathrm{min}$注满，得剩余注水时间为$3\ \mathrm{min}$：
$\dfrac{2700-\dfrac{1800(100-a)}{a}}{100}=3$
整理得：
$2700a-1800(100-a)=300a$
$4200a=180000$
解得$a=\dfrac{300}{7}$。
若乙先注满，乙注满后甲仍需单独注水，甲总注满时间大于乙注满时间，不符合甲比乙提前注满的条件，该情况不存在。
经检验，$a=\dfrac{300}{7}$符合题意。
【答案】
（1）$y_1=1200+40x\ (0≤ x≤45)$，$y_2=300+60x\ (0≤ x≤45)$
（2）$y_2$的函数图象为：连接$(0,300)$和$(36,2100)$、$(36,2100)$和$(45,3000)$的两条线段
（3）$a=\dfrac{300}{7}$
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，一元一次方程的应用
【点评】
本题以水池注水的实际场景为载体，综合考查一次函数的表达、分段函数的分析以及一元一次方程的求解，解题的核心是找准注水速度变化的时间节点，同时要注意结合题意分类讨论注满顺序，验证解的合理性。
【难度系数】
0.4
甲、乙两地间的一条公路长为 400 km，一辆轿车从甲地出发，以 80 km/h 的速度匀速驶往乙地. 0.5 h 后，一辆货车从乙地出发匀速驶往甲地. 货车出发 2.5 h 后与轿车在途中相遇. 此后，两车继续行驶，并各自到达目的地. 设轿车行驶的时间为 x h，两车距乙地的距离为 y km.
（1）在同一平面直角坐标系中，两车距乙地的距离 y 关于 x 的函数图象正确的是(
)；
（2）求货车距乙地的距离 $ y_1 $ 关于 x 的函数表达式；
（3）在甲、乙两地间，距乙地 300 km 处有一个加油站，两车在行驶过程中都曾在该加油站加油（加油时间忽略不计），两车加油的间隔时间是多少？
答案：$\boldsymbol{C}$
（2）分两段讨论：
当$0≤ x＜0.5$时，货车尚未出发，$y_1=0$；
当$0.5≤ x≤6.75$时，设$y_1=kx+b$，将$(0.5,0)$和相遇点$(3,160)$代入：
$\begin{cases}0=0.5k+b\\160=3k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=64\\b=-32\end{cases}$，即$y_1=64x-32$。
综上，货车距乙地的距离函数表达式为：
$y_1=\begin{cases}0 & (0≤ x＜0.5) \\64x-32 & (0.5≤ x≤ 6.75)\end{cases}$
（3）轿车距乙地的距离函数为$y=400-80x$，令$y=300$：
$400-80x=300$，解得$x=1.25$。
令货车距乙地距离$y_1=300$：
$64x-32=300$，解得$x=5.1875$。
两车加油的间隔时间为$5.1875-1.25=3.9375\ \mathrm{h}$（即$\frac{63}{16}\ \mathrm{h}$）。
答：两车加油的间隔时间是$3.9375\ \mathrm{h}$。
解析：
【分析】
（1）要判断正确的函数图象，需分别分析两车距乙地的距离y随轿车行驶时间x的变化规律：①轿车从甲地出发，初始时（x=0）距乙地400km，以80km/h匀速向乙地行驶，因此y随x增大匀速减小，行驶全程需400÷80=5h，即x=5时y=0；②货车比轿车晚0.5h出发，因此0≤x＜0.5时货车仍在乙地，y=0，出发后匀速向甲地行驶，距乙地的距离匀速增大，相遇时轿车已行驶0.5+2.5=3h，此时轿车距乙地400-80×3=160km，即相遇点坐标为(3,160)，可求得货车速度为160÷2.5=64km/h，货车行驶全程需400÷64=6.25h，因此货车到达甲地时轿车已行驶0.5+6.25=6.75h，此时货车距乙地400km，结合两车的图象特征即可选出正确选项。
（2）求货车的函数表达式需分两段讨论：x＜0.5时货车未出发，y₁=0；x≥0.5时y₁是x的一次函数，用待定系数法代入已知点求解即可，注意标注自变量取值范围。
（3）先写出轿车距乙地的距离函数，分别令两车的函数值等于300，求出两车到达加油站的时间，作差即可得到加油间隔时间。
【解析】
（1）由分析可知，轿车的图象是从(0,400)到(5,0)的线段，货车的图象是从(0.5,0)到(6.75,400)的线段，符合该特征的只有选项C。
（2）分情况讨论：
①当$0≤ x＜0.5$时，货车尚未出发，始终在乙地，因此$y_1=0$；
②当$0.5≤ x≤6.75$时，设$y_1=kx+b$（$k≠0$），将点$(0.5,0)$和相遇点$(3,160)$代入得：
$\begin{cases}0=0.5k+b\\160=3k+b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$2.5k=160$，解得$k=64$，将$k=64$代入第一个方程得$0=0.5×64+b$，解得$b=-32$，因此该段函数为$y_1=64x-32$。
综上，货车距乙地的距离函数表达式为：
$y_1=\begin{cases}0 & (0≤ x＜0.5) \\64x-32 & (0.5≤ x≤ 6.75)\end{cases}$
（3）轿车距乙地的距离函数为：$y=400-80x$（$0≤x≤5$）
令$y=300$，即$400-80x=300$，解得$x=1.25$，即轿车出发1.25h时到达加油站。
令货车的$y_1=300$，代入$y_1=64x-32$得：$64x-32=300$，解得$x=5.1875$，即轿车出发5.1875h时货车到达加油站。
两车加油的间隔时间为：$5.1875-1.25=3.9375\ \mathrm{h}$（即$\frac{63}{16}\ \mathrm{h}$）。
【答案】
（1）$\boldsymbol{C}$
（2）$y_1=\begin{cases}0 & (0≤ x＜0.5) \\64x-32 & (0.5≤ x≤ 6.75)\end{cases}$
（3）$3.9375\ \mathrm{h}$（或$\frac{63}{16}\ \mathrm{h}$）
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，一次函数的图象
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的综合应用，需要准确分析运动过程中的时间节点，分段讨论函数表达式，解题的关键是理清两车距乙地距离随时间的变化规律，同时注意自变量取值范围的确定，是一次函数应用类的典型题型。
【难度系数】
0.65
