17. 某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为 $3000\ \mathrm{m}^3$，原有水量分别为 $1200\ \mathrm{m}^3$，$300\ \mathrm{m}^3$，现向甲、乙水池同时注水，直至两水池均注满为止. 已知每分钟向甲、乙水池的注水量之和恒定为 $100\ \mathrm{m}^3$，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水. 设注水第 $x\ \mathrm{min}$ 时，甲、乙水池中的水量分别为 $y_1\ \mathrm{m}^3$，$y_2\ \mathrm{m}^3$.
（1）若每分钟向甲注水 $40\ \mathrm{m}^3$，分别写出 $y_1,y_2$ 关于 $x$ 的函数表达式；
（2）若每分钟向甲注水 $50\ \mathrm{m}^3$，画出 $y_2$ 关于 $x$ 的函数图象；
（3）若每分钟向甲注水 $a\ \mathrm{m}^3$，则甲比乙提前 $3\ \mathrm{min}$ 注满，求 $a$ 的值.
答案：解：
（1）每分钟向乙水池注水量为$100-40=60\ \mathrm{m}^3$。
甲水池注满所需时间：$\dfrac{3000-1200}{40}=45\ \mathrm{min}$，
乙水池注满所需时间：$\dfrac{3000-300}{60}=45\ \mathrm{min}$。
因此$y_1$关于$x$的函数表达式为：
$y_1=1200+40x\quad(0≤ x≤45)$
$y_2$关于$x$的函数表达式为：
$y_2=300+60x\quad(0≤ x≤45)$
（2）初始每分钟向乙水池注水量为$100-50=50\ \mathrm{m}^3$。
甲水池注满所需时间：$\dfrac{3000-1200}{50}=36\ \mathrm{min}$，
注水$36\ \mathrm{min}$时，乙水池水量为$300+50×36=2100\ \mathrm{m}^3$，
之后停止向甲注水，以$100\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$的速度单独向乙注水，乙注满剩余水量所需时间：$\dfrac{3000-2100}{100}=9\ \mathrm{min}$，乙总注满时间为$45\ \mathrm{min}$。
$y_2$的分段表达式为：
当$0≤ x≤36$时，$y_2=300+50x$；
当$36＜x≤45$时，$y_2=100x-1500$。
函数图象为连接点$(0,300)$与$(36,2100)$的线段，以及连接点$(36,2100)$与$(45,3000)$的线段。
（3）甲水池注满所需时间为$t_1=\dfrac{3000-1200}{a}=\dfrac{1800}{a}\ \mathrm{min}$，初始阶段乙的注水速度为$(100-a)\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$。
若甲先注满，此时乙水池剩余需注水量为$3000-[300+(100-a)·\dfrac{1800}{a}]$，剩余水量以$100\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$的速度注入，由甲比乙提前$3\ \mathrm{min}$注满，得剩余注水时间为$3\ \mathrm{min}$：
$\dfrac{2700-\dfrac{1800(100-a)}{a}}{100}=3$
整理得：
$2700a-1800(100-a)=300a$
$4200a=180000$
解得$a=\dfrac{300}{7}$。
若乙先注满，乙注满后甲仍需单独注水，甲总注满时间大于乙注满时间，不符合甲比乙提前注满的条件，该情况不存在。
经检验，$a=\dfrac{300}{7}$符合题意。
综上，$a$的值为$\dfrac{300}{7}$。
甲、乙两地间的一条公路长为 400 km，一辆轿车从甲地出发，以 80 km/h 的速度匀速驶往乙地. 0.5 h 后，一辆货车从乙地出发匀速驶往甲地. 货车出发 2.5 h 后与轿车在途中相遇. 此后，两车继续行驶，并各自到达目的地. 设轿车行驶的时间为 x h，两车距乙地的距离为 y km.
（1）在同一平面直角坐标系中，两车距乙地的距离 y 关于 x 的函数图象正确的是(
)；
（2）求货车距乙地的距离 $ y_1 $ 关于 x 的函数表达式；
（3）在甲、乙两地间，距乙地 300 km 处有一个加油站，两车在行驶过程中都曾在该加油站加油（加油时间忽略不计），两车加油的间隔时间是多少？
答案：$\boldsymbol{C}$
（2）分两段讨论：
当$0≤ x＜0.5$时，货车尚未出发，$y_1=0$；
当$0.5≤ x≤6.75$时，设$y_1=kx+b$，将$(0.5,0)$和相遇点$(3,160)$代入：
$\begin{cases}0=0.5k+b\\160=3k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=64\\b=-32\end{cases}$，即$y_1=64x-32$。
综上，货车距乙地的距离函数表达式为：
$y_1=\begin{cases}0 & (0≤ x＜0.5) \\64x-32 & (0.5≤ x≤ 6.75)\end{cases}$
（3）轿车距乙地的距离函数为$y=400-80x$，令$y=300$：
$400-80x=300$，解得$x=1.25$。
令货车距乙地距离$y_1=300$：
$64x-32=300$，解得$x=5.1875$。
两车加油的间隔时间为$5.1875-1.25=3.9375\ \mathrm{h}$（即$\frac{63}{16}\ \mathrm{h}$）。
答：两车加油的间隔时间是$3.9375\ \mathrm{h}$。
解析：
解：
（1）由题意可知：
轿车从甲地出发，x=0时距乙地400km，到乙地总用时为$400÷80=5\ \mathrm{h}$，即轿车距乙地距离为0时$x=5$；
货车在轿车出发0.5h后才从乙地出发，即$0≤ x＜0.5$时货车距乙地距离为0，货车速度为$\frac{400-80×(0.5+2.5)}{2.5}=64\ \mathrm{km/h}$，货车走完全程用时$400÷64=6.25\ \mathrm{h}$，即货车到达甲地（距乙地400km）时$x=0.5+6.25=6.75＞5$。
符合上述特征的图象是选项C。
