【分析】
拿到本题首先观察方程的结构特征，可发现方程的两项都含有公因式$(x+5)$，若将$(x+5)$看作一个整体，直接提取公因式即可快速将方程转化为两个一次式乘积为0的形式，无需展开多项式、无需配方或套用公式，计算量最小，因此优先考虑因式分解法。
【解析】
观察方程$(x+5)^2 - 3(x+5)=0$的结构，两项均含公因式$(x+5)$，提取公因式可得：
$(x+5)(x+5 - 3)=0$
整理得：$(x+5)(x+2)=0$
进而可得$x+5=0$或$x+2=0$，解得$x_1=-5$，$x_2=-2$。
对比三种解法：配方法需要先展开整理为一般式再配方，公式法需要先展开确定系数再套用求根公式，计算量均大于因式分解法，因此最简便的方法是因式分解法。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程解法选择
【点评】
本题重点考查一元二次方程解法的灵活选用，解题时要先观察方程的结构特征，优先选择简便解法，当方程中存在公因式或符合乘法公式的结构特征时，选用因式分解法可大幅降低计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解，具体步骤为先分别令两个一次因式等于0，再分别解对应的一次方程即可得到方程的根。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的规则，若两个因式相乘的结果为0，则两个因式中至少有一个为0，因此可得：
$x+7=0$ 或 $x-2=0$
解$x+7=0$，得$x_1=-7$；
解$x-2=0$，得$x_2=2$。
因此方程的根为$x_1=-7,x_2=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零乘积性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，难度较低，只要熟练掌握因式分解法的求解逻辑，就能快速准确得到答案，是一元二次方程解法的基础巩固类题目。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题可采用因式分解法求解，注意不能直接在方程两边同时除以$(x-1)$，否则会漏掉$x=1$这个根。解题思路为：先将方程右边的$(x-1)$移到左边，使方程右边为0，再提取公因式$(x-1)$，将原方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后分别令两个一次因式为0，即可求出方程的根。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x-1)(x+3)-(x-1)=0$
提取公因式$(x-1)$，得：
$(x-1)[(x+3)-1]=0$
整理得：
$(x-1)(x+2)=0$
令$x-1=0$，解得$x_1=1$；
令$x+2=0$，解得$x_2=-2$。
因此方程的根为$x_1=-2, x_2=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的典型易错题，易错点为直接在方程两边除以含未知数的整式$(x-1)$，导致漏解。求解此类方程时，若两边有相同的含未知数的因式，优先选择移项提取公因式的方法，不要随意约去含未知数的式子，避免丢根。
【难度系数】
0.6

【分析】
观察方程结构可发现左右两边都含有公因式$(x-5)$，若直接两边除以$(x-5)$会漏掉$x=5$这个根，因此正确思路为：先移项使方程右边为0，再对左边提取公因式$(x-5)$，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，用因式分解法解题更简便。
【解析】
移项，得
$(x-5)^2 - 4(x-5) = 0$
提取公因式，得
$(x-5)(x-5-4) = 0$
即
$(x-5)(x-9) = 0$
∴ $x-5=0$ 或 $x-9=0$
解得 $x_1=5$，$x_2=9$
【答案】
$x_1=5$，$x_2=9$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，解题时要注意不能直接在方程两边同时除以含未知数的整式，避免出现漏根的问题，熟练掌握提公因式的技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题可分三步展开：第一步先求解一元二次方程，得到第三边的两个可能取值；第二步结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，对两个根进行验证，排除无法构成三角形的取值；第三步用符合条件的第三边长度，加上已知两边长计算周长即可。
【解析】
解方程 $x^2 - 9x + 14 = 0$，
因式分解得 $(x-2)(x-7)=0$，
所以 $x-2=0$ 或 $x-7=0$，
解得 $x_1=2$，$x_2=7$。
当第三边长为2时，$2+4=6$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去；
当第三边长为7时，$4+6＞7$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
此时三角形的周长为 $4+6+7=17$。
【答案】
17
【知识点】
一元二次方程求解；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，结合了一元二次方程求解和三角形三边关系两个考点，解题时要注意解出方程的根后必须验证是否符合三角形的构成条件，避免遗漏取舍步骤出现多解错误。
【难度系数】
0.7

【分析】
这5道一元二次方程均适合用因式分解法求解，核心依据是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，可将二次方程降次转化为一元一次方程求解。解题时先观察方程形式：(1)已经是两个一次式乘积为0的形式，直接拆分即可；(2)先移项使等式右边为0，再提取公因式因式分解；(3)(4)用十字相乘法将二次三项式分解为两个一次式的乘积；(5)先移项把等式右边化为0，再用平方差公式因式分解，最后分别求解对应一元一次方程即可得到方程的根。
【解析】
(1) 由$(x-2)(x-3)=0$，
得$x-2=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$。
(2) 移项，得$x^2-4x=0$，
因式分解，得$x(x-4)=0$，
得$x=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=4$。
(3) 因式分解，得$(x+4)(x-1)=0$，
得$x+4=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=-4$，$x_2=1$。
(4) 因式分解，得$(x-3)(x-5)=0$，
得$x-3=0$或$x-5=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
(5) 移项，得$(x-1)^2 - 9(x+1)^2=0$，
因式分解，得$[(x-1)+3(x+1)][(x-1)-3(x+1)]=0$，
化简得$(4x+2)(-2x-4)=0$，
整理得$(2x+1)(x+2)=0$，
得$2x+1=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=3$；(2) $x_1=0$，$x_2=4$；(3) $x_1=-4$，$x_2=1$；(4) $x_1=3$，$x_2=5$；(5) $x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=-2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解、平方差公式
【点评】
本组题目是解一元二次方程的基础题型，通过因式分解将二次方程降次为一次方程求解，需要熟练掌握提公因式、十字相乘、公式法等常用因式分解方法，运用该方法解题能有效简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.85