4. 从一块正方形铁片上截下一块2 cm宽的矩形铁片，余下的面积是48 cm²，求原来的正方形铁片的面积.
答案：解：设原来正方形铁片的边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程得：
$x(x-2) = 48$
整理得：
$x^2 - 2x - 48 = 0$
因式分解得：
$(x-8)(x+6) = 0$
解得：
$ x_1 = 8 $，$ x_2 = -6 $
因为边长为正数，$ x=-6 $不符合实际意义，舍去。
原来正方形铁片的面积为 $ 8^2 = 64 \, \mathrm{cm}^2 $。
答：原来的正方形铁片的面积是$ 64 \, \mathrm{cm}^2 $。
解析：
【分析】
要解决这道题，首先锁定核心未知量：原正方形的边长。我们先设原正方形边长为$x\,\mathrm{cm}$，截下2cm宽的矩形后，余下的图形是一个长方形，它的长等于原正方形的边长$x\,\mathrm{cm}$，宽等于原正方形边长减去截去的宽度，即$(x-2)\,\mathrm{cm}$。接下来根据“余下的面积是$48\,\mathrm{cm}^2$”的条件，利用矩形面积公式（长×宽=面积）列出一元二次方程，解方程后注意边长为正数，需舍去不符合实际的负根，最后用正方形面积公式计算原正方形的面积即可。
【解析】
解：设原来正方形铁片的边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据余下矩形的面积为$48\,\mathrm{cm}^2$，列方程得：
$x(x-2) = 48$
整理得：
$x^2 - 2x - 48 = 0$
因式分解得：
$(x-8)(x+6) = 0$
解得：
$ x_1 = 8 $，$ x_2 = -6 $
因为正方形边长为正数，$ x=-6 $不符合实际意义，故舍去。
原来正方形铁片的面积为 $ 8^2 = 64 \, \mathrm{cm}^2 $。
答：原来的正方形铁片的面积是$ 64 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$\boldsymbol{64\,\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 矩形面积计算
【点评】
这是一道结合几何图形面积的一元二次方程基础应用题，解题的关键是准确找到余下矩形的边长与原正方形边长的数量关系，建立正确的方程模型，求解后要注意结合实际意义检验根的合理性，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
5. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$AC = 12$ cm，$BC = 16$ cm，点 $P$，$Q$ 分别从 $A$，$B$ 两点同时出发，沿 $AC$，$BC$ 方向向点 $C$ 匀速运动，速度均为2 cm/s，当点 $P$ 到达点 $C$ 时，$P$，$Q$ 两点均停止运动. 设运动时间为 $t$ s，求当 $△ PCQ$ 的面积是 $△ ABC$ 的面积的一半时 $t$ 的值.
答案：解：
$Rt△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×12×16=96\ \mathrm{cm}^2$。
运动$t$秒后，$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，
因此$PC=(12-2t)\ \mathrm{cm}$，$QC=(16-2t)\ \mathrm{cm}$，且$0≤ t≤6$。
根据题意列方程：
$\frac{1}{2}(12-2t)(16-2t)=\frac{1}{2}×96$
整理得：
$t^2-14t+24=0$
因式分解得：
$(t-2)(t-12)=0$
解得$t_1=2$，$t_2=12$。
因为$0≤ t≤6$，$t=12$不符合运动范围要求，舍去。
答：当$△ PCQ$的面积是$△ ABC$的面积的一半时，$t$的值为2。
解析：
【分析】
要解决这道题，首先计算出$Rt△ ABC$的总面积，再结合点P、Q的运动速度和时间t，表示出线段PC、QC的长度；再根据$△ PCQ$是直角三角形，写出它的面积表达式，结合“$△ PCQ$的面积是$△ ABC$面积的一半”的等量关系列一元二次方程；最后结合运动的实际时间范围，舍去不符合题意的解，即可得到t的正确值。
【解析】
1. 计算$Rt△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 12 × 16 = 96\ \mathrm{cm}^2$
2. 表示运动t秒后相关线段的长度：
点P、Q的运动速度均为2 cm/s，运动时间为t s，因此$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，
可得$PC = (12 - 2t)\ \mathrm{cm}$，$QC = (16 - 2t)\ \mathrm{cm}$；
点P到达C点时运动停止，因此t的取值范围为$0 ≤ t ≤ 6$。
3. 列方程并求解：
根据题意列方程：$\frac{1}{2}(12-2t)(16-2t) = \frac{1}{2} × 96$
整理方程：两边同乘2得$(12-2t)(16-2t)=96$，展开化简得$t^2-14t+24=0$，
因式分解得$(t-2)(t-12)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=12$。
4. 验根：
因为$0 ≤ t ≤ 6$，$t=12$不符合运动范围要求，故舍去。
【答案】
当$△ PCQ$的面积是$△ ABC$的面积的一半时，$t$的值为2。
【知识点】
一元二次方程应用；直角三角形面积计算；动点问题分析
【点评】
本题是典型的动点结合一元二次方程的应用题，解题核心是正确用含t的代数式表示相关线段的长度，同时要注意结合实际运动的限制条件对所求的根进行检验，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
1. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是57. 设每个支干长出$x$个小分支，根据题意可列方程为（
）.
A.$1+x+x(1+x)=57$
B.$1+x+x^2=57$
C.$x+x(1+x)=57$
D.$1+2x^2=57$
答案：B
解析：
【分析】
解题时首先要明确三类结构的数量：首先主干只有1个；其次，题目规定“每个支干长出的小分支数目与支干总数相同”，题设每个支干长出x个小分支，因此支干的总数量就是x个；最后，每个支干长出x个小分支，用支干数量乘每个支干长出的小分支数就能得到小分支的总数量。最后将三类结构的数量相加等于总数57，就能列出对应的方程。
【解析】
解：① 计算各部分数量：
主干数量：只有1根，即数量为1；
支干数量：已知每个支干长出x个小分支，且小分支数目与支干总数相等，因此支干总数量为x；
小分支数量：每个支干长x个小分支，总共有x个支干，因此小分支总数为$x × x = x^2$。
② 根据“主干、支干和小分支的总数是57”，列方程得：
$1 + x + x^2 = 57$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 列代数式
【点评】
本题是典型的分支类方程应用问题，解题核心是梳理清楚不同层级的数量关系，注意不要漏算主干，也不要混淆分支问题和连续增长率问题的列式区别。
【难度系数】
0.7
2. 某超市第一季度中，一月份的营业额为200万元，二、三月份的总营业额为1000万元。若平均每月增长率为x，则根据
题意可列方程为（
）。
A.$200(1+x)^2=1000$
B.$200+200×2x=1000$
C.$200(1+x)+200(1+x)^2=1000$
D.$200+200(1+x)+200(1+x)^2=1000$
答案：C
解析：
【分析】
这是一道平均增长率相关的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步先牢记增长率问题的核心公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)；第二步分别推导二月份、三月份的营业额：已知一月份营业额为200万元，月平均增长率为x，那么二月份是在一月份基础上增长，因此营业额为200(1+x)，三月份是在二月份基础上再增长，因此营业额为200(1+x)²；第三步找准等量关系：题干明确是“二、三月份的总营业额为1000万元”，即二月份营业额+三月份营业额=1000万，要注意区分“二、三月总营业额”和“第一季度总营业额”，避免选错。
【解析】
首先推导各月营业额：
1. 一月份营业额：已知为200万元；
2. 二月份营业额：以一月份为基数增长x，故为$200(1+x)$万元；
3. 三月份营业额：以二月份为基数增长x，故为$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$万元；
根据“二、三月份总营业额为1000万元”的等量关系列方程：
$200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1000$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1.平均增长率问题 2.一元二次方程实际应用
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题关键是准确解读题干的统计时段和等量关系，牢记增长率的计算逻辑即可正确求解。
【难度系数】
0.7
