【分析】
我们按照题目要求分步思考解题：
1. 画指定圆：先理解数对(3,2)的含义，第一个数对应横轴刻度3，第二个数对应纵轴刻度2，交点就是圆心O；已知圆直径4cm，先算出半径为4÷2=2cm，对应方格中2格的长度，用圆规以O为圆心、2cm为半径画圆即可。
2. 画指定扇形：扇形面积和圆心角成正比，要使扇形面积占圆的$\frac{1}{2}$，它的圆心角就是$360°×\frac{1}{2}=180°$，过圆心画任意一条直径，直径分出的半圆就是符合要求的扇形。
3. 计算扇形周长和面积：这个扇形是半圆，周长=圆周长的一半+直径的长度，面积=整圆面积的$\frac{1}{2}$，代入对应公式计算即可，注意不要漏加扇形的直径部分的长度。
4. 按1:2缩小直角三角形：图形缩放时所有边都按相同比例变化，先确定原直角三角形两条直角边的长度，分别乘$\frac{1}{2}$得到缩小后的边长，再画出对应直角三角形即可。
【解析】
（1）定位坐标点(3,2)作为圆心，计算圆的半径：$4÷2=2$（厘米），以2厘米为半径画圆；
（2）在圆中画一个圆心角为$180°$的半圆，就是面积占圆$\frac{1}{2}$的扇形；
（3）计算扇形的周长和面积：
扇形周长=半圆弧长+直径：
$3.14×4×\frac{1}{2} + 4 = 6.28 + 4 = 10.28$（厘米）
扇形面积=整圆面积$×\frac{1}{2}$：
$3.14×2^2×\frac{1}{2} = 3.14×4×\frac{1}{2} = 6.28$（平方厘米）
（4）原直角三角形两条直角边分别为4厘米、2厘米，按1:2缩小后，直角边长度分别为$4×\frac{1}{2}=2$厘米、$2×\frac{1}{2}=1$厘米，画出两条直角边为2厘米、1厘米的直角三角形即可。
【答案】
扇形的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米；
画图说明：(1) 以(3,2)为圆心、2厘米为半径画圆；(2) 画出圆心角180°的半圆扇形；(4) 画出直角边为2厘米、1厘米的缩小后直角三角形。
【知识点】
1. 圆与扇形的计算
2. 坐标定位
3. 图形的放大与缩小
【点评】
本题综合了坐标应用、图形绘制、扇形周长面积计算、图形缩放多个考点，难度不大，需要注意计算扇形周长时不要遗漏直径部分的长度，画图时要找准对应长度和坐标。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决第(1)问时，首先需要算出拉开后桌子的总周长，再用总周长除以每位客人所需的60厘米长度，得到可坐人数。观察图形可知，拉开后桌子的周长由两部分组成：左右两个半圆弧拼接后正好是原来直径100cm的圆的周长，加上上下两条直边的长度，直边长度等于拉开后总长度减去原来圆的直径。
解决第(2)问时，要判断面积是否增加$\frac{1}{3}$，需先算出原来圆桌的面积和拉开后新增的面积，再计算新增面积占原来面积的比例，和$\frac{1}{3}$比较大小即可。原来的面积是直径100cm的圆的面积，新增面积是中间长方形的面积，长方形的长等于原来圆的直径，宽等于拉开前后的长度差。
【解析】
(1) 计算拉开后桌子的周长：
原来圆的周长：$3×100 = 300$（cm）
上下两条直边总长度：$(130-100)×2 = 60$（cm）
总周长：$300+60 = 360$（cm）
可围坐人数：$360÷60 = 6$（位）
(2) 先计算原来圆桌的面积：
原来圆的半径：$100÷2 = 50$（cm）
原来的面积：$3×50^2 = 3×2500 = 7500$（cm²）
再计算新增的面积，新增部分为长方形，长100cm，宽$130-100=30$cm：
增加的面积：$100×30 = 3000$（cm²）
新增面积占原来面积的比例：$3000÷7500 = \frac{2}{5}$
因为$\frac{2}{5} ＞ \frac{1}{3}$，所以增加的面积大于$\frac{1}{3}$，不同意妈妈的说法。
【答案】
(1) 拉开后的桌子一圈可围坐6位客人。
(2) 不同意妈妈的说法，增加的面积大于$\frac{1}{3}$。
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、分数的应用
【点评】
本题结合生活中的伸缩桌场景，考查组合图形的周长和面积计算，解题核心是明确图形拉开前后的组成部分，找准各部分对应的长度再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7