2. 一个圆的直径为2(每个方格的边长为1)。① 以(17,4)为圆心，按3:1的比画出圆放大后的图形；② 放大后的圆与原来的面积比是(
):(
)；③ 将放大后的圆分成甲、乙两个扇形，使得甲、乙的面积比是3:5。
答案：① 原圆半径：$2÷2=1$，放大后半径：$1×3=3$，以点$(17,4)$为圆心，3个方格边长为半径画出圆。
②
原圆面积：$π×(2÷2)^2=π$
放大后圆面积：$π×3^2=9π$
放大后的圆与原来的面积比：$9π:π=9:1$
③ 甲扇形圆心角：$360°×\frac{3}{3+5}=135°$，乙扇形圆心角：$360°×\frac{5}{3+5}=225°$，在放大后的圆内画出圆心角分别为$135°$、$225°$的两个扇形，分别标注甲、乙。
答：放大后的圆与原来的面积比是9:1。
解析：
【分析】
解题时分三步思考：1. 处理放大圆的作图问题：先求出原圆的半径，图形按3:1放大是指对应边的长度扩大为原来的3倍，因此半径也扩大3倍，算出放大后的半径后，以指定坐标为圆心画出对应圆即可；2. 求面积比时，可分别计算原圆和放大后圆的面积再化简比，也可利用圆的面积比等于半径平方比的规律快速推导；3. 划分扇形时，同一个圆内扇形的面积比等于圆心角的比，因此只需将周角360°按3:5的比例分配，求出两个扇形的圆心角后作图标注即可。
【解析】
① 计算原圆半径：$2÷2=1$，按3:1放大后半径为$1×3=3$，以点$(17,4)$为圆心，3个方格的边长为半径画出圆即可。
② 分别计算两个圆的面积再求比：
原圆面积：$π×(2÷2)^2=π$
放大后圆面积：$π×3^2=9π$
面积比为$9π:π=9:1$
③ 按比例分配计算两个扇形的圆心角：
总份数：$3+5=8$
甲扇形圆心角：$360°×\frac{3}{8}=135°$
乙扇形圆心角：$360°×\frac{5}{8}=225°$
在放大后的圆内画出圆心角分别为$135°$、$225°$的两个扇形，分别标注甲、乙即可。
【答案】
① 以$(17,4)$为圆心、3为半径画圆；② 9:1；③ 画出圆心角为$135°$的甲扇形和$225°$的乙扇形。
【知识点】
图形的放大与缩小、圆的面积计算、按比例分配
【点评】
本题结合作图操作和计算，综合考察了图形放大的性质、圆的面积计算、扇形与圆心角的关系以及按比例分配的应用，需要注意区分长度放大比和面积放大比，避免混淆两者的关系。
【难度系数】
0.7
3. 可可站在$(5,4)$，乐乐在他的南偏西$60°$方向距离4格处，用尺规画出可可和乐乐的位置（保留作图痕迹）。
答案：1. 在方格坐标系中，找到第5列第4行的点，标注为可可。
2. 以可可所在点为顶点，画出指向正南的基准射线，用尺规作出从正南方向向西偏转60°的方向射线。
3. 在该方向射线上，从可可的位置起截取长度等于4个方格边长的线段，线段的终点标注为乐乐，保留作60°角、截取线段的全部作图痕迹。
答：按上述尺规作图步骤即可画出符合要求的可可和乐乐的位置。
解析：
【分析】
解题思路分三步梳理：首先确定可可的位置，数对的表示规则是第一个数对应列、第二个数对应行，因此可先根据数对(5,4)找到可可的位置并标注。其次确定乐乐的方位，乐乐的位置以可可为观测点，按照“上北下南、左西右东”的方位规则，先画出过可可点的正南方向基准射线，南偏西60°就是以正南射线为基准，向西偏转60°，用尺规作出该方向的射线。最后确定乐乐的具体位置，在已作出的方向射线上，从可可的位置开始截取长度为4个方格边长的线段，线段端点就是乐乐的位置，作图全程需保留作图痕迹。
【解析】
1. 依据数对“先列后行”的表示规则，在方格坐标系中找到第5列、第4行的交点，标注为“可可”。
2. 以可可所在点为观测点，按照“上北下南、左西右东”的方位规则，画出指向正南（竖直向下）的基准射线。
3. 使用尺规作图，以正南射线为始边，向西（向左）作出60°的角，得到南偏西60°的方向射线。
4. 以可可的位置为端点，在南偏西60°的方向射线上，截取长度等于4个方格边长的线段，线段的另一端点标注为“乐乐”，全程保留作60°角、截取线段的所有作图痕迹。
【答案】
按上述尺规作图步骤即可画出符合要求的可可和乐乐的位置。
【知识点】
数对确定位置，位置与方向，尺规作图
【点评】
本题综合考查位置确定的相关知识与动手操作能力，解题时需注意明确观测点，避免方位方向混淆，作图时要严格遵循尺规作图要求并保留全部作图痕迹。
【难度系数】
0.7
五、解决问题
1. 可可爸爸带80元去超市，买了3千克苹果，每千克9.6元；又买了一些零食，花了28.5元。他还想买些牛奶，纯牛奶一瓶25.8元，酸牛奶一提19.9元。可可爸爸带的钱够不够再买些牛奶？如果够，够买一瓶纯牛奶还是一提酸牛奶？
答案：9.6＞9 28.5＞28 25.8＞25
9×3+28+25=80(元)
9.6×3+28.5+25.8＞80
9.6＜10 28.5＜30 19.9＜20
10×3+30+20=80(元)
9.6×3+28.5+19.9＜80
不够买一瓶纯牛奶，够买一提酸奶
解析：
【分析】
要判断带的钱够不够买牛奶，我们可以通过估算的方法快速比较总花费和80元的大小：判断是否够买纯牛奶时，把各项消费都往小估，如果往小估的总花费刚好等于80，说明实际总花费肯定超过80；判断是否够买酸牛奶时，把各项消费都往大估，如果往大估的总花费刚好等于80，说明实际总花费肯定低于80，就能快速得出结论，也可以先精算已花金额，再算剩余金额和两种牛奶的价格比较。
【解析】
1. 判断是否够买纯牛奶：
把苹果单价9.6元估成9元，零食花费28.5元估成28元，纯牛奶价格25.8元估成25元。
估算总花费：$9×3+28+25=27+28+25=80$（元）
因为实际各项价格都比估算的数值大，所以$9.6×3+28.5+25.8＞80$，不够买一瓶纯牛奶。
2. 判断是否够买一提酸牛奶：
把苹果单价9.6元估成10元，零食花费28.5元估成30元，酸牛奶价格19.9元估成20元。
估算总花费：$10×3+30+20=30+30+20=80$（元）
因为实际各项价格都比估算的数值小，所以$9.6×3+28.5+19.9＜80$，够买一提酸牛奶。
【答案】
不够买一瓶纯牛奶，够买一提酸牛奶
【知识点】
小数估算，总价计算，大小比较
【点评】
本题结合日常购物的真实场景，既可以用精算的方法求解，也可以用估算快速得到结果，能够锻炼学生灵活选择计算方法解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
2. 在比例尺是$1:12000000$的地图上，量得苏州到北京的图上距离是9厘米。在比例尺是$\frac{1}{8000000}$的地图上，求苏州到北京的图上距离。
答案：9×12000000÷8000000=13.5(厘米)
解析：
【分析】
解题的核心是苏州到北京的实际距离是固定不变的，不会随地图比例尺的改变而变化。我们可以分两步思考：第一步，根据第一张地图的比例尺和已知的图上距离，求出两地的实际距离；第二步，用求出的实际距离乘第二张地图的比例尺，就能得到第二张地图上两地的图上距离。
【解析】
首先计算苏州到北京的实际距离：
比例尺$1:12000000$表示图上1厘米对应实际距离12000000厘米，因此实际距离为：
$9×12000000=108000000$（厘米）
再计算比例尺为$\frac{1}{8000000}$的地图上的图上距离：
图上距离=实际距离×比例尺，代入得：
$108000000×\frac{1}{8000000}=13.5$（厘米）
也可列综合算式计算：
$9×12000000÷8000000=13.5$（厘米）
【答案】
13.5厘米
【知识点】
比例尺的应用；图上距离与实际距离的换算
【点评】
本题是比例尺的常规应用题型，解题的关键是抓住“实际距离不变”这一隐含条件，熟练掌握图上距离、实际距离、比例尺三者的换算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
3. 为方便游客赏花，花卉公园要在一个直径为60米的花圃周围铺一条4米宽的小路。沿着这条小路的外边缘每3.14米装一盏彩灯，一共要装多少盏彩灯？这条小路的面积是多少平方米？（圆周率取近似值3.14）
答案：60+4×2=68(米)
68×3.14÷3.14=68(盏)
60÷2=30(米)
30+4=34(米)
34×34×3.14=3629.84(平方米)
30×30×3.14=2826(平方米)
3629.84-2826=803.84(平方米)
解析：
【分析】
本题需要解决两个问题，可分别梳理思路：①求彩灯数量：彩灯沿小路外边缘安装，外边缘是封闭圆形，封闭线路上的安装数量等于间隔数，即彩灯数量=外圆周长÷相邻彩灯间隔，因此需要先求出外圆的直径，再计算外圆周长。②求小路面积：小路是环形，环形面积=外圆面积-内圆面积，需要先分别求出内圆、外圆的半径，再代入圆面积公式计算差值。注意小路宽4米，外圆直径需比内圆直径多2个4米（花圃左右两侧都铺有小路），外圆半径比内圆半径多4米。
【解析】
1. 计算彩灯数量：
首先求外圆直径：$60 + 4×2 = 68$（米）
外圆周长为$3.14×68$，每3.14米装一盏彩灯，封闭圆形中间隔数等于彩灯数：
$68×3.14÷3.14 = 68$（盏）
2. 计算小路面积：
先求内圆半径：$60÷2 = 30$（米）
外圆半径：$30 + 4 = 34$（米）
外圆面积：$3.14×34² = 3.14×1156 = 3629.84$（平方米）
内圆面积：$3.14×30² = 3.14×900 = 2826$（平方米）
小路面积=外圆面积-内圆面积：$3629.84 - 2826 = 803.84$（平方米）
【答案】
一共要装68盏彩灯，这条小路的面积是803.84平方米。
【知识点】
圆的周长计算、圆环面积计算、封闭路线植树问题
【点评】
本题结合实际生活场景考察圆相关公式的应用，易错点是容易忽略小路在花圃两侧均有延伸，误将外圆直径算为$60+4$，同时需注意封闭路线的植树问题中，间隔数等于植树（安装）的数量。
【难度系数】
0.7
4. 某市2022年之前居民用电的电价是0.52元/千瓦·时，自2022年起，该市推行峰谷用电计费，具体收费标准如下表。可可家去年12月份用电145千瓦·时，峰时用电量与谷时用电量的比是3：2。帮可可算一下，使用峰谷用电计费划不划算？
答案：原来付电费:0.52×145=75.4(元)
现在峰时定量:
145×$\frac{3}{3+2}$=87(千瓦·时)
现在谷时定量:
145×$\frac{2}{3+2}$=58(千瓦·时)
现在付电费:
0.56×87+0.36×58=69.6(元)
69.6＜75.4,使用峰谷用电计费划算。
解析：
【分析】
要判断使用峰谷用电计费是否划算，需要分别计算出原电价的总电费和峰谷计费的总电费，再比较两者大小：首先根据“总费用=单价×总用电量”算出原电价下的电费；再结合峰时和谷时的用电量比，用按比例分配的方法分别求出峰时、谷时的用电量，对应乘各自电价求和得到峰谷计费的总电费；最后对比两个费用，峰谷计费费用更低则更划算。
【解析】
1. 计算原电价的总电费：
$0.52×145=75.4$（元）
2. 计算峰时、谷时用电量：
总份数：$3+2=5$
峰时用电量：$145×\frac{3}{5}=87$（千瓦·时）
谷时用电量：$145×\frac{2}{5}=58$（千瓦·时）
3. 计算峰谷计费的总电费：
$0.56×87+0.36×58$
$=48.72+20.88$
$=69.6$（元）
4. 费用对比：
$69.6＜75.4$，所以使用峰谷用电计费更划算。
【答案】
使用峰谷用电计费划算。
【知识点】
按比例分配、小数四则运算、费用比较
【点评】
本题结合生活中的电费计费场景考查实际应用能力，解题核心是先分别求出两种计费方式的总费用，再通过比较大小得出结论，计算时需注意小数运算的准确性。
【难度系数】
0.8
