四、操作题
借助圆规对下面的图案进行改造，使最后形成的图案只有4条对称轴。
答案：操作方法：
1. 找到整个图案的中心点O。
2. 以点O为圆心，以原图案中任意一个圆的最外侧点到O的距离为半径，用圆规画出一个经过四个圆最外侧端点的大圆。
3. 保留大圆轮廓，将大圆内部、原四个小圆外部的区域全部涂色，最终得到的图案仅有4条对称轴。
答：按上述方法改造后得到的图案符合只有4条对称轴的要求。
解析：
【分析】
首先明确改造目标：最终图案仅有4条对称轴，轴对称图形沿对称轴对折后两侧可完全重合。观察原图案可知，它是由4个半径相等、分别朝向上、下、左、右摆放的圆交叉组成，四个圆的公共交点就是整个图案的中心点O。我们可以借助圆的对称性，先画一个以O为圆心的大圆包裹住4个小圆，再调整涂色区域，使新图形仅沿水平、竖直、两条45°斜线这4条直线对折时完全重合，即可满足要求。
【解析】
1. 先确定整个图案的中心点O，也就是四个小圆交叉的公共中心位置。
2. 将圆规的针尖固定在点O处，调整圆规两脚的距离，以原图案中任意一个小圆的最外侧点到O的长度为半径，画一个大圆，该大圆刚好经过四个小圆的最外侧端点。
3. 保留画好的大圆轮廓，把大圆内部、原四个小圆外部的区域全部涂色，得到的图案就仅有4条对称轴。
【答案】
操作方法：
1. 找到整个图案的中心点O。
2. 以点O为圆心，以原图案中任意一个圆的最外侧点到O的距离为半径，用圆规画出一个经过四个圆最外侧端点的大圆。
3. 保留大圆轮廓，将大圆内部、原四个小圆外部的区域全部涂色，最终得到的图案仅有4条对称轴。
答：按上述方法改造后得到的图案符合只有4条对称轴的要求。
【知识点】
1. 轴对称图形与对称轴
2. 圆规画圆的方法
3. 图案设计
【点评】
本题结合动手操作考查轴对称图形的相关知识，需要先明确目标图形的对称轴特征，再结合圆的对称性进行图案改造，能够有效锻炼空间想象能力和动手实践能力。
【难度系数】
0.7
五、解决问题
1. 一个花坛的形状如右图，它的周长和面积各是多少？
答案：周长：
$3.14×6 + 10×2$
$=18.84 + 20$
$=38.84$（米）
面积：
$10×6=60$（平方米）
答：它的周长是38.84米，面积是60平方米。
解析：
【分析】
解题时先观察组合图形的构成：1. 周长计算：左右两段都是直径为6m的半圆弧，两段半圆弧的长度之和恰好等于直径6m的整圆的周长，剩余的周长部分是上下两条长10m的直边，两部分相加即为总周长。2. 面积计算：可以用割补法，将左侧凸出的半圆平移到右侧凹进的半圆位置，刚好能拼成一个长10m、宽6m的长方形，直接计算长方形面积就是花坛的总面积，无需分开计算各部分面积再加减，简化计算过程。
【解析】
周长计算：
两个半圆弧长之和等于直径6m的整圆周长：
$3.14×6=18.84$（米）
上下两条直边的长度和：
$10×2=20$（米）
总周长：
$18.84+20=38.84$（米）
面积计算：
通过割补法将图形转化为长10m、宽6m的长方形，根据长方形面积公式计算：
$10×6=60$（平方米）
答：它的周长是38.84米，面积是60平方米。
【答案】
周长是38.84米，面积是60平方米。
【知识点】
圆的周长计算，长方形面积计算，组合图形巧算
【点评】
本题是组合图形周长和面积计算的常规题型，核心是通过观察图形特征，将零散的圆弧拼接为整圆简化周长计算，用割补法将不规则图形转化为规则长方形简化面积计算，能有效提升图形转化和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
2. 张老师一直坚持骑自行车上班，他从家到学校大约用20分钟。他家到学校大约有多少米？要解决这个问题，还需要哪些信息？先选一选，再解答。
① 你选的是(
)。(填序号)
② 解答：
答案：① 你选的是(①③)。
② 解答：
3.14×0.7×100×20
=2.198×100×20
=219.8×20
=4396（米）
答：他家到学校大约有4396米。
解析：
【分析】
要计算张老师家到学校的路程，依据“路程=速度×时间”的关系，已知骑行时间是20分钟，需先求出自行车每分钟行驶的速度。自行车的速度和车轮转动情况相关：车轮每转1圈前进的距离就是车轮的周长，需要知道车轮直径才能计算周长，再结合每分钟转的圈数就能算出每分钟行驶的路程，因此要选择信息①和③。解题时先算车轮周长，再算每分钟行驶的路程，最后乘骑行时间即可得到总路程。
【解析】
① 选择的信息为①③；
② 先计算车轮的周长：$3.14×0.7=2.198$（米），这是车轮转1圈前进的距离；
再计算自行车每分钟行驶的路程：$2.198×100=219.8$（米）；
最后计算20分钟行驶的总路程：$219.8×20=4396$（米）。
列综合算式计算：
$3.14×0.7×100×20$
$=2.198×100×20$
$=219.8×20$
$=4396$（米）
答：他家到学校大约有4396米。
【答案】
① $\boxed{①③}$
② 他家到学校大约有4396米。
【知识点】
圆的周长计算；行程问题
【点评】
本题结合生活实际场景设置，要求学生先筛选出解题需要的有效信息，再综合运用圆的周长知识和行程数量关系求解，能有效锻炼学生的信息分析能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如下图，地面上有一个半径为0.5米的球。如果要将这个球滚到墙边，需要转动几圈？
答案：(16.2 - 0.5) ÷ (2×3.14×0.5)
= 15.7 ÷ 3.14
= 5（圈）
答：需要转动5圈。
解析：
【分析】
解题时首先要明确：当球滚到墙边刚好接触墙面时，球的圆心距离墙面还有1个半径的长度，因此球实际滚动的路程不是16.2米，而是总距离减去球的半径。接下来先根据圆的周长公式算出球滚动一圈前进的长度（也就是球的周长），最后用实际滚动的总路程除以滚动一圈的长度，就能得到需要转动的圈数。
【解析】
首先计算球实际滚动的路程，再计算球的周长，最后用实际路程除以周长得到圈数：
$\begin{split}&(16.2 - 0.5) ÷ (2×3.14×0.5)\\=&15.7 ÷ 3.14\\=&5（圈）\end{split}$
【答案】
需要转动5圈。
【知识点】
圆的周长计算，滚动问题求解
【点评】
本题易错点是容易忽略球的半径，直接用16.2米作为滚动路程计算，解题的关键是先确定球实际滚动的总路程，再结合圆的周长公式求解即可。
【难度系数】
0.7
4. 游乐场摩天轮的大转盘的半径约为50米，它转动一周产生的圆面的面积大约是多少平方米？游客乘坐这个大转盘，旋转一周经过的路线大约有多长？
答案：3.14×50²
=3.14×2500
=7850（平方米）
2×3.14×50
=314（米）
答：它转动一周产生的圆面的面积大约是7850平方米，游客乘坐这个大转盘旋转一周经过的路线大约长314米。
解析：
【分析】
首先明确两个问题对应的数学概念：①摩天轮转动一周形成的圆面面积，就是以转盘半径为半径的圆的面积，使用圆的面积公式计算即可；②游客旋转一周经过的路线长度，就是这个圆的周长，使用圆的周长公式计算即可。已知半径r=50米，计算时π取3.14，分别代入对应公式就能求出结果。
【解析】
1. 计算转动一周圆面的面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入r=50米得：
$3.14×50²$
$=3.14×2500$
$=7850$（平方米）
2. 计算旋转一周经过的路线长度：
根据圆的周长公式$C=2π r$，代入r=50米得：
$2×3.14×50$
$=314$（米）
【答案】
它转动一周产生的圆面的面积大约是7850平方米，游客乘坐这个大转盘旋转一周经过的路线大约长314米。
【知识点】
圆的面积计算、圆的周长计算
【点评】
本题结合生活场景考查基础公式的应用，解题关键是将实际问题转化为求圆的面积、周长的数学问题，牢记对应公式即可正确解答。
【难度系数】
0.9
