1. 下列运算结果是正数的是 （
B
）
A.$-2^2$
B.$2^{-1}$
C.$-|-\sqrt{3}|$
D.$1-\sqrt{3}$
答案：1. B
解析：
【分析】
要判断哪个选项的运算结果是正数（即大于0的数），解题思路为：依次计算每个选项的运算结果，再将结果与0比较大小，最终选出结果大于0的选项即可。计算时要注意各类运算的优先级和符号规则，避免出错。
【解析】
我们逐个计算各选项的结果并判断正负：
选项A：根据乘方运算规则，先算乘方再算符号，$-2^2=-(2×2)=-4＜0$，结果为负数，不符合要求；
选项B：根据负整数指数幂的运算规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}＞0$，结果为正数，符合要求；
选项C：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，先算绝对值得$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$，因此$-|-\sqrt{3}|=-\sqrt{3}＜0$，结果为负数，不符合要求；
选项D：因为$\sqrt{3}\approx1.732＞1$，所以$1-\sqrt{3}＜0$，结果为负数，不符合要求。
综上，只有选项B的运算结果是正数。
【答案】
B
【知识点】
乘方运算、负整数指数幂、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查实数相关的基础运算规则，解题的关键是准确掌握各类运算的符号判断和计算法则，避免因运算顺序混淆、符号判断失误失分。
【难度系数】
0.8
2. 将$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{8}}{3}$这三个数按从大到小的顺序排列，正确的是（
A
）
A.$\sqrt{2}＞\frac{\sqrt{6}}{2}＞\frac{\sqrt{8}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{8}}{3}＞\sqrt{2}＞\frac{\sqrt{6}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{2}＞\sqrt{2}＞\frac{\sqrt{8}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{8}}{3}＞\frac{\sqrt{6}}{2}＞\sqrt{2}$
答案：2. A
解析：
【分析】
要比较几个正二次根式的大小，根据正实数的性质：正数的平方越大，对应的原数就越大，我们可以通过计算三个数的平方，比较平方结果的大小，就能得到原数的大小顺序，这种方法比计算每个数的近似值更准确简便。
【解析】
∵ 三个数都是正实数，正数的平方越大，原数越大
分别计算三个数的平方：
$(\sqrt{2})^2=2$
$(\frac{\sqrt{6}}{2})^2=\frac{(\sqrt{6})^2}{2^2}=\frac{6}{4}=1.5$
$(\frac{\sqrt{8}}{3})^2=\frac{(\sqrt{8})^2}{3^2}=\frac{8}{9}$
∵ $2＞1.5＞\frac{8}{9}$
∴ $\sqrt{2}＞\frac{\sqrt{6}}{2}＞\frac{\sqrt{8}}{3}$
故选A
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较，二次根式乘方运算，正数平方性质
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，利用平方比较正二次根式的大小是常用技巧，避免了计算近似值的繁琐，也可将根号外的数移入根号内，通过比较被开方数的大小得到结果。
【难度系数】
0.8
3. 用计算器比较下列各组数的大小：
（1）$3\sqrt{2}$与$2\sqrt{3}$；
（2）$\sqrt{2}$与$\frac{1}{\sqrt{2}}$；
（3）$-\frac{\sqrt{7}}{2}$与$-\frac{π}{3}$。
答案：(1) $3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$ (2) $\sqrt{2}＞\frac{1}{\sqrt{2}}$ (3) $-\frac{\sqrt{7}}{2}＜-\frac{π}{3}$
解析：
【分析】
本题要求用计算器比较实数大小，解题思路如下：首先明确实数大小比较的基本规则：正数大于负数；两个正数比较，数值大的数更大；两个负数比较，绝对值大的数反而小。我们可以先利用计算器分别算出每组中两个数的近似值，再结合上述规则判断大小即可，计算时保留足够小数位数可保证结果准确。
【解析】
（1）用计算器计算得：$\sqrt{2}\approx1.4142$，$\sqrt{3}\approx1.7321$
则$3\sqrt{2}\approx3×1.4142=4.2426$，$2\sqrt{3}\approx2×1.7321=3.4642$
因为$4.2426＞3.4642$，所以$3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$。
（2）用计算器计算得：$\sqrt{2}\approx1.4142$
则$\frac{1}{\sqrt{2}}\approx\frac{1}{1.4142}\approx0.7071$
因为$1.4142＞0.7071$，所以$\sqrt{2}＞\frac{1}{\sqrt{2}}$。
（3）用计算器计算得：$\sqrt{7}\approx2.6458$，$π\approx3.1416$
则$\left|-\frac{\sqrt{7}}{2}\right|=\frac{\sqrt{7}}{2}\approx\frac{2.6458}{2}=1.3229$，$\left|-\frac{π}{3}\right|=\frac{π}{3}\approx\frac{3.1416}{3}=1.0472$
因为$1.3229＞1.0472$，根据两个负数比较大小、绝对值大的数反而小的规则，可得$-\frac{\sqrt{7}}{2}＜-\frac{π}{3}$。
【答案】
(1) $3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$ (2) $\sqrt{2}＞\frac{1}{\sqrt{2}}$ (3) $-\frac{\sqrt{7}}{2}＜-\frac{π}{3}$
【知识点】
实数大小比较、无理数近似计算、负数比较规则
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，既可以借助计算器计算近似值求解，也可通过平方法、分母有理化等方法验证结果，解题时要注意负数比较大小的特殊性，避免因忽略符号导致判断错误。
【难度系数】
0.8
4. 用计算器计算：
(1) $\frac{π}{2} - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$；
(2) $4×\sqrt{3} - \frac{1}{2}×\sqrt[3]{2}$。
答案：(1) -6.135 945 975 (2) 6.298 242 705
解析：
【分析】
这两道题属于实数的混合运算类计算题，解题思路如下：①首先明确运算顺序：先计算开方（平方根、立方根）、乘除运算，最后计算加减运算；②可通过两种方式计算：一是直接用计算器的π键、平方根键、立方根键，按运算顺序输入完整式子直接得出结果；二是先取各无理数的近似值（保留足够多有效数字避免中间误差），再按运算顺序逐步计算；③最终结果保留和要求一致的位数即可。
【解析】
(1) 取各无理数近似值：$π≈3.1415926536$，$\sqrt{3}≈1.7320508076$，$\sqrt{2}≈1.4142135624$
分步计算：
$\frac{π}{2}≈3.1415926536÷2=1.5707963268$
$2\sqrt{3}≈2×1.7320508076=3.4641016152$
$3\sqrt{2}≈3×1.4142135624=4.2426406872$
原式≈$1.5707963268 - 3.4641016152 - 4.2426406872=-6.135945975$
(2) 取各无理数近似值：$\sqrt{3}≈1.7320508076$，$\sqrt[3]{2}≈1.2599210499$
分步计算：
$4×\sqrt{3}≈4×1.7320508076=6.9282032304$
$\frac{1}{2}×\sqrt[3]{2}≈0.5×1.2599210499=0.629960525$
原式≈$6.9282032304 - 0.629960525=6.298242705$
【答案】
(1) $-6.135945975$；(2) $6.298242705$
【知识点】
实数混合运算、计算器使用、无理数近似计算
【点评】
本题主要考查实数运算顺序的掌握以及计算器常用功能的熟练运用，计算时注意中间步骤要保留足够多的有效数字，避免近似误差导致最终结果偏差。
【难度系数】
0.85
5. 比较下列各组数的大小，先估一估，再用计算器验证：
(1) $\frac{\sqrt{6}-2}{7}$
＜
$\frac{1}{7}$；
(2) $\frac{22}{7}$
＜
$\sqrt{10}$；
(3) $\frac{1}{2}$
＜
$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$。
答案：(1) ＜ (2) ＜ (3) ＜
解析：
【分析】
本组题目为实数大小比较问题，可根据式子特征选择简便方法：1. 若两个分数分母相同，只需比较分子的大小，结合不等式的基本性质即可判断；2. 若式子含无理数，可先估算无理数的近似范围，或对正数作平方运算（正数平方越大，原数越大）来比较。
具体各题思路：
(1) 两式分母均为7，只需判断分子$\sqrt{6}-2$和1的大小，即判断$\sqrt{6}$和3的大小即可；
(2) 两个均为正数，可分别计算近似值，或平方后比较大小；
(3) 两式分母均为2，只需判断分子1和$3-\sqrt{3}$的大小，即判断$\sqrt{3}$和2的大小即可。
【解析】
(1) 两个分数分母相同，只需比较分子大小：
∵$\sqrt{6}＜\sqrt{9}=3$，
∴$\sqrt{6}-2＜3-2=1$，
∴$\frac{\sqrt{6}-2}{7}＜\frac{1}{7}$。
(2) 方法：正数平方越大，原数越大：
∵$(\frac{22}{7})^2=\frac{484}{49}\approx9.88$，$(\sqrt{10})^2=10$，
且$9.88＜10$，
∴$\frac{22}{7}＜\sqrt{10}$。
(3) 两个分数分母相同，只需比较分子大小：
∵$\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$，
∴$-\sqrt{3}＞-2$，
两边同时加3得：$3-\sqrt{3}＞3-2=1$，
∴$\frac{1}{2}＜\frac{3-\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) ＜ (2) ＜ (3) ＜
【知识点】
实数比较大小，无理数估算，不等式基本性质
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，熟练掌握同分母分数比较规则、无理数估算方法、正数平方比较法即可快速求解，平时可熟记$\sqrt{2}\approx1.414$、$\sqrt{3}\approx1.732$等常见无理数的近似值，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
6. 用计算器求下列各数的立方根(结果精确到0.001).
(1) 2 003;
(2) $-91$;
(3) $0.88$;
(4) $21\dfrac{4}{7}$;
(5) $3.05×10^5$.
答案：(1) 12.606 (2) -4.498 (3) 0.958 (4) 2.784 (5) 67.313
解析：
【分析】
本题考查用计算器求立方根，解题思路如下：1. 先明确立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此求负数的立方根时，可先求出其绝对值的立方根，再添加负号；2. 掌握计算器求立方根的操作流程：一般先按下立方根功能键，再输入被开方数，按下等号得到结果，若被开方数是带分数要先转化为小数，是科学记数法可直接输入或转化为普通整数后输入；3. 最终结果按要求精确到0.001，即保留三位小数，需观察第四位小数的大小，按四舍五入规则取近似值。
【解析】
(1) 求2003的立方根：在计算器中依次按下立方根键、输入2003、按等号，得到结果约为12.6057，四舍五入精确到0.001为12.606；
(2) 求-91的立方根：先求91的立方根，计算器计算得约为4.4979，根据负数立方根为负，可得-91的立方根≈-4.498；
(3) 求0.88的立方根：计算器计算得约为0.9582，四舍五入精确到0.001为0.958；
(4) 先将带分数$21\dfrac{4}{7}$转化为小数：$21\dfrac{4}{7}\approx21.5714$，再用计算器求其立方根，得约为2.7839，四舍五入精确到0.001为2.784；
(5) 先将$3.05×10^5$转化为普通数：$3.05×10^5=305000$，用计算器求其立方根，得约为67.3128，四舍五入精确到0.001为67.313。
【答案】
(1) $\boxed{12.606}$；(2) $\boxed{-4.498}$；(3) $\boxed{0.958}$；(4) $\boxed{2.784}$；(5) $\boxed{67.313}$
【知识点】
立方根运算；计算器使用；近似数取法
【点评】
本题属于基础操作类题目，重点考察计算器求立方根的操作熟练度，需要注意不同形式的被开方数（负数、带分数、科学记数法）的预处理，同时取近似值时要认准精确数位，避免四舍五入出错。
【难度系数】
0.8
