12. 如图，直线$ l_1 ⊥ x $轴，垂足为点$(1, 0)$，直线$ l_2 ⊥ x $轴，垂足为点$(2, 0)$，直线$ l_3 ⊥ x $轴，垂足为点$(3, 0)$，…，直线$ l_n ⊥ x $轴，垂足为点$(n, 0)$（其中$ n $为正整数）。函数$ y=x $的图象与直线$ l_1, l_2, l_3, \dots, l_n $分别交于点$ A_1, A_2, A_3, \dots, A_n $；函数$ y=2x $的图象与直线$ l_1, l_2, l_3, \dots, l_n $分别交于点$ B_1, B_2, B_3, \dots, B_n $，如果$ △ OA_1B_1 $的面积记作$ S_1 $，四边形$ A_1A_2B_2B_1 $的面积记作$ S_2 $，四边形$ A_2A_3B_3B_2 $的面积记作$ S_3 $，…，四边形$ A_{n-1}A_nB_nB_{n-1} $的面积记作$ S_n $，求$ S_{2024} $。
答案：12. 根据题意,得$A_nB_n=n$,$A_{n-1}B_{n-1}=n-1$,$\because$ 直线$l_n ⊥ x$轴,垂足为点$(n,0)$,直线$l_{n-1}⊥ x$轴,垂足为点$(n-1,0)$,$\therefore A_nB_n// A_{n-1}B_{n-1}$,且$l_n$与$l_{n-1}$间的距离为1,$\therefore$ 四边形$A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$是梯形,$\therefore S_n=\dfrac{1}{2}(n+n-1)× 1=n-\dfrac{1}{2}$,当$n=2024$时,$S_{2024}=2024-\dfrac{1}{2}=2023.5$
解析：
【分析】
首先确定各交点坐标：直线$l_n$的横坐标恒为$n$，分别代入两个一次函数表达式，即可得到点$A_n$、$B_n$的坐标，进而求出线段$A_nB_n$的长度。其次判断四边形形状：因为$l_{n-1}$和$l_n$都垂直于x轴，所以$A_{n-1}B_{n-1}$和$A_nB_n$互相平行，两条直线的间距为1，因此该四边形是梯形，上下底为$A_{n-1}B_{n-1}$、$A_nB_n$，高为1。最后用梯形面积公式推导$S_n$的通用表达式，代入$n=2024$即可得到结果。
【解析】
解：根据题意，直线$l_n$上所有点的横坐标均为$n$，
将$x=n$代入$y=x$，可得点$A_n$的坐标为$(n,n)$；
将$x=n$代入$y=2x$，可得点$B_n$的坐标为$(n,2n)$；
∴$A_nB_n=2n-n=n$，同理可得$A_{n-1}B_{n-1}=n-1$。
∵$l_n$、$l_{n-1}$均垂直于x轴，
∴$A_nB_n// A_{n-1}B_{n-1}$，且$l_n$与$l_{n-1}$的距离为1，即四边形$A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$的高为1，该四边形为梯形。
根据梯形面积公式：
$S_n=\frac{1}{2}×(A_{n-1}B_{n-1}+A_nB_n)×高=\frac{1}{2}(n-1+n)×1=n-\frac{1}{2}$
当$n=2024$时：
$S_{2024}=2024-\frac{1}{2}=2023.5$
【答案】
$2023.5$（或$\frac{4047}{2}$）
【知识点】
一次函数的图象性质，梯形面积计算，规律探究
【点评】
本题结合一次函数图象考查图形规律的归纳能力，解题核心是先判断所求图形的形状，再推导面积的通用表达式，对基础公式的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
