【分析】
1. 求解(1)时，观察函数解析式为绝对值搭配整式的形式，整式对自变量没有取值限制，即可判断x的取值范围。
2. 求解(2)时，将对应x值代入函数解析式$y=|x+1|$计算，就能得到m、n的取值。
3. 求解(3)时，按照描点法画函数图象的基本步骤，先描出各对应坐标点，再顺次连接得到折线图象即可。
4. 求解(4)时，使用函数图象平移的“左加右减、上加下减”规则，对比两个函数的解析式，就能判断平移的方向和距离。
5. 求解(5)时，结合函数图象和解析式，逐一判断三个结论：先看绝对值的非负性判断最小值，再分区间判断增减性，最后确定对称轴即可。
【解析】
(1) 函数$y=|x+1|$中，$x+1$为整式，整式的自变量取值为全体实数，因此x的取值范围是全体实数。
(2) 将对应x值代入解析式计算：当$x=0$时，$m=|0+1|=1$；当$x=2$时，$n=|2+1|=3$。
(3) 先在坐标系中描出所有对应坐标点，再顺次连接各点得到V型的函数图象，如图所示：
(4) 根据函数平移规则：左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体）。对解析式变形可得$y=|x-2|+1=|(x-3)+1|+1$，因此是由$y=|x+1|$的图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到。
(5) 逐一判断结论：
① 由绝对值的非负性可得$|x+1|≥0$，当$x=-1$时取最小值0，因此函数最小值为0，①正确；
② 当$x＞-1$时，$y=x+1$，y随x的增大而增大，因此②错误；
③ 函数$y=|x+1|$的对称轴为直线$x=-1$，即过点$(-1,0)$且垂直于x轴的直线，③正确。
综上，正确结论为①③。
【答案】
(1) $x$为全体实数
(2) $1$，$3$
(3)
(4) 右，$3$；上，$1$
(5) ①③
【知识点】
绝对值函数性质，函数图象平移，自变量取值范围
【点评】
本题综合考察了绝对值函数的相关知识，涵盖了自变量取值、函数值计算、图象绘制、平移规则和性质判断多个考点，侧重基础能力的应用，掌握绝对值的性质和函数平移规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7