【分析】
解题时首先明确题目要求是找到到三角形三个顶点距离相等的点，可结合线段垂直平分线的性质推导符合要求的点，再逐一分析各选项对应交点的性质，排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆：线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等，因此到两个顶点距离相等的点在这两个顶点所连边的垂直平分线上，要同时满足到三个顶点距离相等，该点就是三条边垂直平分线的交点，再对应各选项的交点性质逐一核对即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：三条中线的交点是三角形的重心，重心的性质是到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，排除；
2. 选项B：三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三条边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，排除；
3. 选项C：三条高的交点是三角形的垂心，没有到三个顶点距离相等的普遍性质，排除；
4. 选项D：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此△ABC三条边的垂直平分线的交点，到A、B、C三个顶点的距离都相等，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形特殊交点的特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的性质，解题时要注意区分“到三个顶点距离相等”和“到三边距离相等”对应的不同交点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知点P同时在AB、BC的垂直平分线上，因此可先利用性质得到PA与PB相等、PB与PC相等，推出PA=PB=PC，再结合已知条件PA+PB=18计算出PB的长度，即可得到PC的长。
【解析】
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$PA = PB$。
又
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴同理可得：$PB = PC$。
∴$PA = PB = PC$。
已知$PA + PB = 18$，将$PA$替换为$PB$，得$2PB = 18$，解得$PB = 9$。
∴$PC = PB = 9$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题属于基础题型，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是明确垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，通过等量代换得到三条线段相等即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，将所求的AD+AE转化为BD+CE，降低计算难度。由于D、E两点在BC上的位置顺序不明确，需分两种情况讨论：一种是D、E两点无重叠区域，此时BD+CE与BC、DE的关系为BD+CE=BC-DE；另一种是D、E两点存在重叠区域，此时BD+CE=BC+DE，分别计算两种情况的结果即可得到最终答案。
【解析】
解：
∵点D在AB的垂直平分线上，点E在AC的垂直平分线上
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=BD$，$AE=CE$
∴$AD+AE=BD+CE$
分两种情况讨论：
① 当点D、E的位置顺序为$B-D-E-C$时，线段和满足$BD+DE+CE=BC$
已知$BC=10$，$DE=4$，代入得：
$BD+CE=BC-DE=10-4=6$，即$AD+AE=6$
② 当点D、E的位置顺序为$B-E-D-C$时，线段和满足$BD+CE=BC+DE$
代入数值计算得：
$BD+CE=10+4=14$，即$AD+AE=14$
综上，$AD+AE$的值为6或14，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；分类讨论思想；线段和差计算
【点评】
本题核心考查线段垂直平分线性质的灵活应用，易错点是容易忽略点的位置的多种可能性，只计算出其中一种结果，解题时遇到无明确位置说明的点，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先运用线段垂直平分线的性质，得到相等的线段：BD=CD，BE=CE。接下来将题目给出的两个周长条件转化为代数式：先根据△EDC的周长得到CE+CD与DE的关系，再拆分△ABC和四边形AEDC的周长，计算两者的差，结合BE=CE的等量关系，将得到的式子和之前的关系联立，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵DE是BC的垂直平分线
∴BD=CD，BE=CE
∵△EDC的周长为24
∴$DE + CD + CE = 24$，即 $CE + CD = 24 - DE$ ---①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12
∴$(AB + BC + AC) - (AE + DE + CD + AC) = 12$
将$AB=AE+BE$，$BC=2CD$代入上式化简：
$AE + BE + 2CD + AC - AE - DE - CD - AC = BE + CD - DE =12$
又
∵$BE=CE$，
∴上式可化为 $CE + CD - DE =12$ ---②
将①代入②得：$(24 - DE) - DE =12$
整理得$24 - 2DE =12$，解得$DE=6$
【答案】
6
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质 2.周长和差计算 3.代数式化简
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量代换，解题的关键是正确拆分两个图形的周长，消去公共的未知线段，最终建立关于DE的方程求解，解题时要注意周长拆分过程中不要漏项。
【难度系数】
0.6

【分析】
要证明CM=BN，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先观察图形，CM在Rt△PMC中，BN在Rt△PNB中，因此只需证明这两个直角三角形全等即可。结合已知条件推导全等所需的条件：首先利用角平分线的性质，可得点P到角两边的距离PM=PN；再利用线段垂直平分线的性质，可得点P到B、C两点的距离相等，即PC=PB；最后通过HL判定两个直角三角形全等，即可推出对应边CM=BN。
【解析】
证明：连接PB，PC。
∵ AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，
∴ PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°。
∵ 点P在BC的垂直平分线上，
∴ PC = PB。
在Rt△PMC和Rt△PNB中，
$\begin{cases} PC=PB \\ PM=PN \end{cases}$
∴ Rt△PMC ≅ Rt△PNB（HL），
∴ CM=BN。
【答案】
证明:连接PB,PC.
∵ AP 是∠BAC的平分线,PN⊥AB,PM⊥AC,
∴ PM=PN,∠PMC=∠PNB=90°.
∵ 点 P 在 BC 的垂直平分线上,
∴ PC = PB. 在 Rt△PMC 和Rt△PNB 中, $\begin{cases} PC=PB, \\ PM=PN, \end{cases}$
∴ Rt△PMC ≅ Rt△PNB(HL),
∴ CM=BN.
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是结合已知条件的特征作辅助线，构造出全等三角形，熟练掌握相关性质和判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题可利用轴对称和线段垂直平分线的性质求解。首先回忆：若两点关于某条直线对称，则该直线是这两点连线的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们可以先根据对称关系得到PE与ME、PF与NF的等量关系，再将MN的长度转化为△PEF的周长即可求出结果。
【解析】
解：
∵点M是点P关于OA的对称点，
∴OA垂直平分线段PM，
∵E在OA上，
∴PE=ME（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
同理，点N是点P关于OB的对称点，
∴OB垂直平分线段PN，
∵F在OB上，
∴PF=NF。
∵MN=ME+EF+FN，
把ME替换为PE，FN替换为PF，可得：
MN=PE+EF+PF。
已知△PEF的周长为15，即PE+EF+PF=15，
∴MN=15。
【答案】
MN=15
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何转化类基础题，核心是通过轴对称的性质建立线段间的等量关系，将未知线段长转化为已知的三角形周长求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7