【分析】
（1）解题思路：利用线段垂直平分线的性质，将△CDE的边长转化为AB上的线段即可求解。首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得AD=CD、BE=CE，再把△CDE的周长替换为AD+DE+BE，即可对应AB的长度。
（2）解题思路：先通过三角形内角和求出∠A与∠B的和，再结合等边对等角的性质，得到∠DCA=∠A、∠ECB=∠B，最后用∠ACB减去∠DCA与∠ECB的和，即可求出∠DCE的度数。
【解析】
（1）
∵直线$l$是$AC$的垂直平分线，点$D$在$l$上，
∴$AD=CD$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵直线$m$是$BC$的垂直平分线，点$E$在$m$上，
∴$BE=CE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∴$△ CDE$的周长$=CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB$。
已知$AB=10$，因此$△ CDE$的周长为$10$。
（2）在$△ ABC$中，$∠ ACB=120°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ A+∠ B=180°-∠ ACB=180°-120°=60°$。
由（1）可知$AD=CD$，$BE=CE$，根据等边对等角，得$∠ A=∠ DCA$，$∠ B=∠ ECB$。
∴$∠ DCA+∠ ECB=∠ A+∠ B=60°$，
∴$∠ DCE=∠ ACB-(∠ DCA+∠ ECB)=120°-60°=60°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{10}$；（2）$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，核心是通过线段垂直平分线的性质实现边和角的等量转化，将未知量和已知条件建立关联，解题逻辑清晰，能很好地考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
要判断BD和AC的数量关系，首先观察已知条件：DM是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此优先连接AD，可得BD=AD，此时只需证明AD=AC即可通过等量代换得到结论。接下来结合给出的角度条件，利用三角形外角性质计算∠AED的度数，判断AE与CD的位置关系，再结合E是CD中点的条件，可推出AE是CD的垂直平分线，进而得到AD=AC，最终推导出BD和AC的关系。
【解析】
解：BD=AC，理由如下：
连接AD，
∵ ∠CAE = 25°，∠C = 65°，
∴ ∠AED = ∠CAE +∠ACB = 25°+65°=90°，即AE⊥DC。
∵ 点E为CD中点，
∴ AE垂直平分CD，
∴ AD=AC。
∵ DM是线段AB的垂直平分线，
∴ BD=AD，
∴ BD=AC。
【答案】
BD=AC，证明如下：
连接AD,
∵ ∠CAE = 25°,∠C = 65°,
∴ ∠AED = ∠CAE +∠ACB = 90°, 即 AE ⊥ DC.
∵ 点 E 为 CD 中点,
∴ AD=AC.
∵ DM 是线段 AB 的垂直平分线,
∴ BD=AD,
∴ BD=AC.
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、垂直的判定
【点评】
本题是典型的线段垂直平分线性质的应用考题，解题的关键是合理构造辅助线AD，将待证的两条线段通过中间量AD建立关联，解题时要形成“遇到垂直平分线优先构造等线段”的思路，同时要熟练掌握角度计算和线段等量代换的方法。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先从已知条件入手联想对应性质：首先MN是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得点G到B、C的距离相等，即GB=GC；其次AG是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，可过G向∠BAC的两边作垂线，得到两条相等的垂线段，由此构造出两个直角三角形，用HL可证明全等，得到对应角相等，最后结合四边形内角和为360°做角的转化，即可推导出两个角的数量关系。
【解析】
过点G作GE⊥AB于点E，GF⊥AC交AC的延长线于点F。
1. 由线段垂直平分线的性质：
∵MN是BC的垂直平分线，点G在MN上，
∴$GB=GC$。
2. 由角平分线的性质：
∵AG平分$∠ BAC$，$GE⊥ AB$，$GF⊥ AC$，
∴$GE=GF$，$∠ GEB=∠ GFC=90°$。
3. 证明直角三角形全等：
在$\mathrm{Rt}△ BEG$和$\mathrm{Rt}△ CFG$中，
$\begin{cases} GB=GC \\ GE=GF \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BEG ≌ \mathrm{Rt}△ CFG \ (\mathrm{HL})$，
∴$∠ GBE=∠ GCF$。
4. 角的转化与结论推导：
∵$∠ ACG+∠ GCF=180°$，
∴$∠ ABG+∠ ACG=180°$。
∵四边形ABGC的内角和为$360°$，即$∠ BAC + ∠ ABG + ∠ BGC + ∠ ACG = 360°$，
将$∠ ABG+∠ ACG=180°$代入得：$∠ BAC + ∠ BGC + 180° = 360°$，
∴$∠ BAC + ∠ BGC = 180°$。
【答案】
$\boldsymbol{∠BAC + ∠BGC = 180°}$。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，需要结合已知性质构造辅助线，通过全等三角形完成角的等量转化，再结合多边形内角和推导角度关系，能有效锻炼几何逻辑推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6