【分析】
解题核心是结合等边三角形的判定定理，逐一验证4个条件对应的三角形是否为等边三角形。首先明确等边三角形的两类判定依据：一是三个内角均为60°的三角形是等边三角形；二是有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，再依次分析每个条件即可。
【解析】
逐个分析如下：
① 三角形外角和为$360°$，若三个外角都相等，则每个外角为$360°÷3=120°$，对应的内角为$180°-120°=60°$，三个内角均为$60°$，属于等边三角形；
② 三角形内角和为$180°$，若两个内角为$60°$，则第三个内角为$180°-60°×2=60°$，三个内角均为$60°$，属于等边三角形；
③ 等腰三角形底边上的高同时也是底边上的中线，因此满足该条件的可能只是普通等腰三角形，不一定是等边三角形，不符合要求；
④ 根据等边三角形判定定理，有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，符合要求。
综上，①②④共3个是等边三角形。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定、三角形内角和定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题主要考查等边三角形的判定，易错点是混淆等腰三角形和等边三角形的性质，误将普通等腰三角形的三线合一特征当成等边三角形的独有判定条件。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先联想轴对称的性质：关于某条直线对称的两个点到对称轴上同一点的距离相等，对应角相等。第一步先连接OP，通过对称性质推导OP₁=OP₂，得到△P₁OP₂是等腰三角形；第二步利用角的和差关系求出∠P₁OP₂的度数，结合等边三角形的判定定理即可判断三角形的类型，得到三个内角的大小关系。
【解析】
连接OP，
∵点P₁与P关于OB对称，
∴OP₁=OP，∠P₁OB=∠POB，
∵点P₂与P关于OA对称，
∴OP₂=OP，∠P₂OA=∠POA，
∴OP₁=OP₂，即△P₁OP₂为等腰三角形，
又
∵∠P₁OP₂=∠P₁OB+∠POB+∠POA+∠P₂OA=2(∠POB+∠POA)=2∠AOB，
已知∠AOB=30°，
∴∠P₁OP₂=2×30°=60°，
根据等边三角形判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，可得△P₁OP₂是等边三角形，因此它的三个内角大小相等。
【答案】
相等
【知识点】
轴对称的性质，等边三角形的判定，角的和差计算
【点评】
本题是基础几何应用题，将轴对称性质和等边三角形的判定结合考查，解题的核心是通过对称关系得到相等的边和角，进而推导三角形的类型，熟练掌握相关性质和判定定理就能快速解题。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先从已知条件出发，△ABC是等边三角形，可直接得到它三边相等、三个内角都是60°，进一步可推出三个外角∠FAD、∠DBE、∠ECF均为120°；结合题干给出的BD=CE=AF，叠加等边三角形的等边长，可推导得到AD=BE=CF；要判断△DEF的三边关系，可通过证明三角形全等得到对应边相等，即利用SAS判定△FAD、△DBE、△ECF三者全等，最终推出△DEF三边的关系。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=BC=AC$，$∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60°$，
∴$∠ FAD=∠ DBE=∠ ECF=180°-60°=120°$。
又
∵$BD=CE=AF$，
∴$AF+AC=BD+AB=CE+BC$，即$FC=AD=BE$。
在$△ FAD$和$△ DBE$中：
$\begin{cases}AF=BD \\∠ FAD=∠ DBE \\AD=BE\end{cases}$
∴$△ FAD≌△ DBE(\mathrm{SAS})$，
∴$FD=DE$。
同理可证$△ DBE≌△ ECF$，
∴$DE=EF$，
∴$FD=DE=EF$，即△DEF三边相等。
【答案】
相等
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于等边三角形和全等三角形结合的基础题，解题核心是利用等边三角形的边、角性质得到全等判定所需的条件，再通过全等三角形对应边相等的性质推导目标三角形的边长关系，逻辑链条清晰，注重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先梳理已知条件：①Rt△ABC中∠C=90°；②AD是∠CAB的角平分线；③DE垂直平分AB；④BC=3。第一步，看到角平分线及DC⊥AC、DE⊥AB，可结合角平分线的性质得到DE=DC，同时得到∠BAD=∠CAD；第二步，看到垂直平分线，结合线段垂直平分线的性质得到AD=BD，进而推出∠B=∠BAD；第三步，结合直角三角形两锐角互余，可推出∠B=30°；第四步，利用含30°角的直角三角形的性质得到BD=2DE，再结合BC=BD+DC=3即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC，∠BAD=∠CAD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠B=∠BAD。
∴∠B=∠BAD=∠CAD，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=∠B+∠BAD+∠CAD=3∠B=90°，
解得∠B=30°。
在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵BC=BD+DC=BD+DE=2DE+DE=3DE=3，
∴DE=1。
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过角平分线和垂直平分线的性质推导角的数量关系，得到30°的特殊角，再结合线段和的关系建立等式求解，能很好地考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时可先从单个内角的平分线垂直对边的条件入手，利用全等三角形的判定定理证明角平分线分割出的两个小三角形全等，得到两条邻边相等的结论；再结合“任意内角的平分线都垂直对边”的条件，推导得出三角形三边都相等，最终判断三角形的类型。
【解析】
解：设该三角形为△ABC：
1. 取∠BAC的角平分线AD交BC于点D，由题意得AD⊥BC。
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠CAD \mathrm{（角平分线的定义）}\\AD=AD \mathrm{（公共边）}\\∠ADB=∠ADC=90° \mathrm{（垂直的定义）}\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（ASA），可得AB=AC。
2. 再取∠ABC的角平分线BE交AC于点E，由题意得BE⊥AC，同理可证△ABE≌△CBE（ASA），可得AB=BC。
综上可得AB=AC=BC，因此该三角形为等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
全等三角形判定与性质；等腰三角形判定；等边三角形判定
【点评】
本题属于特殊三角形判定的基础题型，解题的关键是结合角平分线、垂直的性质，通过全等三角形推导边的等量关系，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和特殊三角形的判定规则。
【难度系数】
0.8

【分析】要证明△DEF是等边三角形，可通过证明其三边相等推导。首先利用等边三角形的性质，得到△ABC三边相等、三个内角均为60°；结合已知AD=BE=CF，可推出BD=CE=AF；再通过SAS判定定理证明相邻的小三角形全等，得到对应边相等，同理可证第三条边也相等，最终得到△DEF三边相等，即可判定其为等边三角形。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C=60°。
∵ AD=BE=CF，
∴ BD=CE=AF。
在△ADF和△BED中，
$\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠B, \\ AF=BD, \end{cases}$
∴ △ADF≌△BED（SAS），
∴ DF=ED。
同理可证DF=FE，
∴ DF=ED=FE，
∴ △DEF是等边三角形。
【答案】
证明过程如上，△DEF是等边三角形。
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定（SAS）
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形相关的基础证明题，解题关键是从已知的等边三角形中提取边角相等的条件，结合全等三角形的证明得到待证三角形的三边关系，即可完成判定，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明△ABD是等边三角形，首先由AD是BC中线、BC=2AB可直接得到AB=BD，此时只需证明∠ABD=60°即可。已知∠B=2∠C，遇到两倍角的条件，常通过作角平分线将大角拆分为两个等于小角的等角，转化为等腰三角形的条件，再结合全等三角形推导角的度数，最终求出∠B的度数即可完成证明。
【解析】
证明：
1.
∵AD是BC边上的中线，BC=2AB
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=AB，即AB=BD
2. 作∠ABC的平分线BE，交AC于点E，连接ED
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABC
又
∵∠ABC=2∠C，
∴∠EBD=∠C
∴EB=EC，即△EBC为等腰三角形
3.
∵D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得ED⊥BC
∴∠BDE=90°
4. 在△ABE和△DBE中：
$\{\begin{array}{l}AB=DB（已证）\\∠ABE=∠DBE（角平分线定义）\\BE=BE（公共边）\end{array} $
∴△ABE≌△DBE（SAS）
∴∠BAE=∠BDE=90°，即∠BAC=90°
5. 在Rt△ABC中，∠ABC+∠C=90°
将∠ABC=2∠C代入得：2∠C+∠C=90°，解得∠C=30°
∴∠ABC=60°
6. 又
∵AB=BD（已证），有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
∴△ABD是等边三角形
【答案】
△ABD是等边三角形，得证。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 等边三角形的判定
【点评】
本题是三角形综合题，解题的关键是掌握两倍角条件下的辅助线构造方法：通过作角平分线将二倍角转化为等角，进而得到等腰三角形，再结合全等三角形的性质推导直角，最终利用内角和求出特殊角的度数完成证明，是对三角形性质综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.6