【分析】
（1）要证明△ABC是等边三角形，已知∠A=60°，只需先证明△ABC是等腰三角形（即AB=AC）即可。由OB=OC可得∠EBC=∠DCB，结合BE、CD是△ABC的高得到∠BEC=∠CDB=90°，再借助公共边BC可证△BCE≌△CBD，进而推出∠ABC=∠ACB，得到AB=AC，结合∠A=60°即可完成证明。
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，可依据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，只需证明点O到AB、AC的距离OD和OE相等即可。由（1）的全等结论可得BE=CD，结合已知OB=OC，可推出OE=OD，且OD⊥AB、OE⊥AC，即可得出结论。
【解析】
（1）证明：
∵ OB=OC，
∴ ∠EBC=∠DCB。
∵ BE⊥AC，CD⊥AB，
∴ ∠BEC=∠CDB = 90°。
在 △BCE 和 △CBD 中，
$\begin{cases} ∠EBC=∠DCB, \\ ∠BEC=∠CDB, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴ △BCE≌△CBD(AAS)，
∴ ∠DBC=∠ECB，
∴ AB=AC。
又
∵ ∠A=60°，
∴ △ABC 是等边三角形。

（2）点O在∠BAC的平分线上，理由如下：
连接AO，由（1）可知△BCE≌△CBD，
∴ EB=CD。
∵ OB=OC，
∴ EB-OB=CD-OC，即OE=OD，
又
∵ OE⊥AC，OD⊥AB，
∴ 点O到∠BAC两边的距离相等，
∴ 点O在∠BAC的平分线上。
【答案】
(1) 证明：
∵ OB=OC,
∴ ∠EBC=∠DCB.
∵ BE⊥AC,CD⊥AB,
∴ ∠BEC=∠CDB = 90°. 在 △BCE 和 △CBD 中, $\begin{cases} ∠EBC=∠DCB, \\ ∠BEC=∠CDB, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴ △BCE≌△CBD(AAS),
∴ ∠DBC=∠ECB,
∴ AB=AC. 又
∵ ∠A=60°,
∴ △ABC 是等边三角形。
(2) 点O在∠BAC的平分线上,理由如下:连接 AO,由(1)可知△BCE≌△CBD,
∴ EB=CD.
∵ OB=OC,
∴ OE=OD,又
∵ OE⊥AC,OD⊥AB,
∴ 点O在∠BAC的平分线上。
【知识点】
等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，融合了三角形全等、等边三角形判定、角平分线判定多个考点，解题核心是先通过已知条件推导三角形全等，获得边、角相等的关系后，再结合对应定理推导结论，熟练掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题可通过构造全等三角形结合等边三角形的性质求解：遇到边相等、线段相交求长度的几何题，可考虑作平行线构造全等三角形；利用等边三角形三线合一的性质得到线段等量关系，再结合全等三角形对应边相等的性质，将所求DE转化为AC长度的一半即可得到结果，也可通过取P为AB中点的特殊值法快速验证答案。
【解析】
过点P作$PF// BC$，交AC于点F。
$\because △ ABC$是边长为1的等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ ACB=60°$，$AC=1$。
$\because PF// BC$，
$\therefore ∠ PFA=∠ ACB=60°$，$∠ PFD=∠ QCD$，
$\therefore △ APF$是等边三角形，$\therefore AP=PF=AF$。
$\because PE⊥ AC$，由等边三角形三线合一可得：$AE=EF=\frac{1}{2}AF$。
已知$PA=CQ$，$\therefore PF=CQ$。
在$△ PFD$和$△ QCD$中：
$\begin{cases}∠ PDF=∠ QDC（对顶角相等）\\∠ PFD=∠ QCD\\PF=CQ\end{cases}$
$\therefore △ PFD≌△ QCD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore FD=CD=\frac{1}{2}FC$。
$\therefore DE=EF+FD=\frac{1}{2}AF+\frac{1}{2}FC=\frac{1}{2}(AF+FC)=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型题型，构造平行线得到全等三角形是解题的突破口，也可利用特殊点赋值法快速得到答案，能有效考查学生几何辅助线的构造能力和对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题考查线段的基本性质，解题思路如下：首先明确两点之间的连线存在多种形式，比如曲线、折线、线段等，再结合所学的几何基本事实，对比不同连线的长度特征，即可直接得出结论，该性质是解决最短路径类问题的核心基础。
【解析】
两点之间可以作出无数条连线，包含曲线、折线、线段等不同类型，根据已学的几何基本公理：两点的所有连线中，线段的长度最短，因此空缺处应填写线段。
【答案】
线段
【知识点】
1. 线段的性质
2. 两点之间线段最短
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对几何基本公理的识记，是解决各类最短路径相关问题的基础原理，要求学生熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查直线外一点与直线上各点连线的长度规律，解题时先回忆点到直线相关线段的性质：连接直线外一点和直线上点的线段可分为垂线段（与直线垂直的线段）和斜线段（与直线不垂直的线段）两类，结合已学的几何结论即可判断出最短的线段类型。
【解析】
设直线外一点为P，已知直线为l，过点P作直线l的垂线，垂足为O，则线段PO就是垂线段。在直线l上任取除O外的任意一点A，连接PA，此时PA为斜线段，PO、OA、PA构成直角三角形，其中PA是斜边，PO是直角边，根据直角三角形的性质，斜边长度大于直角边，即PA＞PO，由此可证连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【答案】
垂线段
【知识点】
1. 垂线段的性质
2. 最短路径问题
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对垂线段性质的掌握，该性质是求解各类几何最短路径问题的重要基础，需要准确记忆并灵活应用。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查轴对称的基本性质，解题时首先回忆两个图形成轴对称的相关性质：若两个图形关于某条直线对称，对应点的连线会被这条直线垂直平分，由此可推出这条直线（即对称轴）就是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，直接对应填空即可。
【解析】
根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此横线处应填对称轴。
【答案】
对称轴
【知识点】
轴对称的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，直接考查轴对称的核心性质，牢记相关概念和性质即可快速得分，是学习轴对称相关内容必须掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.9

【分析】
首先明确题目需求是在直线l上找一点P，使PA与PB的长度和最小，已知A、B在直线l异侧。我们学过的线段和最小值的核心依据是“两点之间，线段最短”，要让PA+PB最小，就需要把PA、PB转化为两点之间的线段。由于A、B在l的两侧，连接AB一定会和直线l相交，该交点可使PA+PB恰好等于AB的长度；若取l上其他点，PA、PB和AB会构成三角形，根据三角形两边之和大于第三边，此时PA+PB会大于AB，因此交点即为所求P点。
【解析】
1. 找点方法：连接A、B两点，线段AB与直线l的交点就是所求的点P。
2. 理由：在直线l上任取一个不与P重合的点P'，连接AP'、BP'。根据三角形三边关系，在△AP'B中，AP' + BP' ＞ AB；又因为AB = AP + PB，因此AP' + BP' ＞ AP + PB。由此可知只有当P为AB与l的交点时，PA+PB的和最小，原理为两点之间线段最短。
【答案】
连接AB，与直线l交点即为点P。依据“两点之间，线段最短”。
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 最短路径问题
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是最短路径类问题的基础题型，主要考查对“两点之间线段最短”这一基本公理的应用能力，掌握该类异侧点的最短路径找法，是学习后续同侧点最短路径、造桥选址等复杂最短路径问题的基础。
【难度系数】
0.9

【分析】
要解决△PDE周长最小的问题，首先拆解周长构成：△PDE的周长=DE+PD+PE。已知点D、E分别是AB、AC的中点，可知DE为△ABC的中位线，长度是固定定值，因此要使周长最小，只需满足PD+PE的和最小即可。此时问题转化为经典的最短路径问题：在定直线BC上找一点P，使P到两定点D、E的距离和最小。参考题干给出的解法，只需作其中一个定点关于BC的对称点，将同侧两点转化为异侧两点，再依据“两点之间线段最短”，连接对称点与另一定点，和BC的交点即为所求的点P。
【解析】
∵ 点D，E分别是AB，AC边的中点，
∴ DE的长度为定值，△PDE的周长 = DE + PD + PE，要使△PDE的周长最小，只需PD + PE的值最小。
作法：
① 作点D关于直线BC的对称点D'；
② 连接D'E，交BC于点P，则点P即为所求。
证明：
在BC上任取异于点P的点P'，连接P'D、P'E、P'D'。
∵ 点D与D'关于BC对称，
∴ PD = PD'，P'D = P'D'，
∴ PD + PE = PD' + PE = D'E，P'D + P'E = P'D' + P'E。
根据“两点之间，线段最短”，可得D'E ＜ P'D' + P'E，
∴ PD + PE ＜ P'D + P'E，
结合DE为定值，可得DE + PD + PE ＜ DE + P'D + P'E，
即此时△PDE的周长最小。
【答案】
作法：①作点D关于直线BC的对称点D'；②连接D'E，交BC于点P，该点P即为使△PDE周长最小的点。
【知识点】
最短路径问题、轴对称的性质、两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径模型的迁移应用类题目，解题关键是先剔除周长中的定值部分，将问题转化为线段和最小问题，再通过轴对称的性质完成同侧点到异侧点的转化，结合线段最短原理求解，能够很好地锻炼学生的知识迁移能力和转化思维。
【难度系数】
0.7