【分析】
要计算抛掷两枚质地均匀骰子的可能结果数，首先明确单枚骰子有6种等可能的点数结果（1到6），且两枚骰子的抛掷结果相互独立、互不影响。解题时可采用分步思考的思路：先确定第一枚骰子的结果，再对应第二枚骰子的所有可能结果，注意两枚骰子的结果是有序的，例如第一枚为1、第二枚为2，和第一枚为2、第二枚为1是两种不同的结果，不能合并计数，也可以用列表法直观呈现所有结果。
【解析】
解：抛掷第一枚质地均匀的骰子，可出现点数1、2、3、4、5、6，共6种等可能的结果；
抛掷第二枚质地均匀的骰子，同样有6种等可能的结果，且结果与第一枚骰子无关。
由于第一枚骰子的每一种结果，都能和第二枚骰子的6种结果一一搭配，因此总共有 $ 6 × 6 = 36 $ 种不同的等可能结果。
（也可通过列表法验证：以第一枚骰子的结果为行、第二枚骰子的结果为列，可列出6行6列共36个有序数对，对应36种不同结果）
【答案】
36
【知识点】
等可能事件计数、分步计数、列表法统计结果
【点评】
本题是概率计算的基础题型，主要考查等可能事件总结果数的计算方法，解题时需注意区分结果是否有序，避免出现重复计数或漏算的错误。
【难度系数】
0.85

【分析】
要解决这个问题，我们分三步思考：第一步，先明确一元二次方程有两个不相等实数根的判定条件，即根的判别式Δ＞0；第二步，代入方程的系数求出判别式，解不等式得到k的取值范围，再从给出的5个数中找出符合范围的k的个数；第三步，根据概率公式，用符合条件的k的个数除以总个数，即可得到所求概率。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x + k = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=k$，
根据根的判别式性质，方程有两个不相等的实数根需满足$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
代入得：$\Delta = (-1)^2 - 4×1× k = 1 - 4k ＞ 0$，
解不等式得：$k ＜ \frac{1}{4}$。
从-2,-1,0,1,2这5个数中，满足$k ＜ \frac{1}{4}$的数有-2、-1、0，共3个，
因为从5个数中任取1个数是等可能事件，根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有可能的结果数}$，
可得所求概率为$\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、概率公式、解一元一次不等式
【点评】
本题是代数小综合题，将一元二次方程根的判定与概率计算相结合，解题的关键是先利用判别式确定k的取值范围，再准确统计符合条件的结果数，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题属于等可能条件下的概率计算问题，解题思路如下：第一步，先通过列举法梳理3名运动员抽签后所有可能的出场顺序，得到总等可能结果数；第二步，根据“每个运动员的出场顺序都发生变化”的要求，筛选出符合条件的结果，要求甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
3名运动员重新抽签后的所有出场顺序列举如下（原定顺序：甲第1位、乙第2位、丙第3位）：
1. 甲、乙、丙（三人都在原位置，不符合要求）
2. 甲、丙、乙（甲在原位置，不符合要求）
3. 乙、甲、丙（丙在原位置，不符合要求）
4. 乙、丙、甲（三人均不在原位置，符合要求）
5. 丙、甲、乙（三人均不在原位置，符合要求）
6. 丙、乙、甲（乙在原位置，不符合要求）
由上述列举可知，总共有6种等可能的结果，其中满足每个运动员出场顺序都发生变化的结果有2种。
根据概率计算公式可得：$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率，概率计算公式，排列问题
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查列举法的应用，解题的关键是不重不漏地列出所有可能的结果，再结合题干要求准确筛选符合条件的结果，代入公式计算即可，注意理解“出场顺序都发生变化”的含义，避免误判结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）第一问是一步等可能事件的概率计算，解题思路为直接套用概率公式：随机事件的概率等于该事件包含的等可能结果数除以所有等可能结果总数。本题中所有摸球的等可能结果总数是球的总个数5，摸出红球的结果数是红球的个数3，代入公式即可得到结果。
（2）第二问属于有放回的两步摸球概率问题，解题思路为：首先明确放回摸球时两次摸球的结果相互独立，每次摸球的总可能数都是5，所有等可能总结果数为两次摸球的可能数相乘；再分析“摸到1个红球和1个白球”包含两种情况：第一次摸红球第二次摸白球、第一次摸白球第二次摸红球，分别计算两种情况的概率后相加，也可通过列表或画树状图列举所有结果，统计符合条件的结果数后代入概率公式计算。
【解析】
（1）袋中共有5个除颜色外其余都相同的球，任意摸出1个球的等可能结果共5种，其中摸到红球的结果有3种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{摸出红球})=\frac{\mathrm{红球的个数}}{\mathrm{球的总个数}}=\frac{3}{5}$
（2）因为是有放回摸球，两次摸球相互独立，每次摸球都有5种等可能结果，因此两次摸球的所有等可能结果总数为$5×5=25$种。
“摸到1个红球和1个白球”包含两种互斥情况：
① 第一次摸到红球，第二次摸到白球：对应结果数为$3×2=6$种，概率为$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}=\frac{6}{25}$；
② 第一次摸到白球，第二次摸到红球：对应结果数为$2×3=6$种，概率为$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{6}{25}$；
因此摸到1个红球和1个白球的总概率为$\frac{6}{25}+\frac{6}{25}=\frac{12}{25}$。
【答案】
（1）$\frac{3}{5}$；（2）$\frac{12}{25}$
【知识点】
1. 等可能事件概率公式；2. 放回型两步概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，第一问直接考查概率公式的基础应用，第二问考查放回型两步概率的求解，解题的关键是区分放回和不放回摸球的差异，明确符合条件的事件包含的所有情况，避免漏算其中一种情况。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题的核心是运用等可能事件的概率公式：概率=所求事件包含的结果数÷所有等可能的总结果数。首先计算总结果数：每人有3种手势选择，三人独立选择，总共有3×3×3=27种等可能结果。再分别统计两类事件的结果数：①手势相同的情况：三人都出同一种手势，共3种；②手势都不同的情况：三种手势各出现1次，按分步计数，第一人3种选择，第二人选剩下2种，第三人只有1种，共3×2×1=6种。最后代入公式计算即可。
【解析】
解：每人出“石头、剪刀、布”的手势均有3种可能，三人选择相互独立，因此所有等可能的总结果数为：$3×3×3=27$种。
1. 计算3人手势相同的概率：
手势相同的情况有：都出石头、都出剪刀、都出布，共3种符合条件的结果。
$\therefore P(\mathrm{手势相同})=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$。
2. 计算3人手势都不相同的概率：
手势都不相同即三种手势各出现一次，第一人有3种选择，第二人需与第一人不同，有2种选择，第三人只能选剩余的1种，共$3×2×1=6$种符合条件的结果。
$\therefore P(\mathrm{手势都不相同})=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$，$\frac{2}{9}$
【知识点】
等可能事件概率计算，分步计数原理，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的关键是准确计数总结果数和对应事件的结果数，避免漏算、重复计数，熟练掌握分步计数的逻辑就能快速解题。
【难度系数】
0.7

【分析】
要计算电路形成通路的概率，首先要分两步思考：第一步先确定所有等可能的情况数：从5个开关中任意闭合2个，统计所有不重复的选择情况；第二步判断通路的条件：观察电路图，A到中间节点的通路需要S₁、S₂至少闭合1个，中间节点到B的通路需要S₃、S₄、S₅至少闭合1个，因为仅闭合2个开关，所以通路的情况只能是1个开关选自在左的S₁、S₂，另1个选自在右的S₃、S₄、S₅，统计这类符合条件的情况数后，用“符合条件的情况数÷总情况数”即可得到概率。
【解析】
1. 计算总情况数：从5个开关中任意选2个闭合，所有等可能的情况有：
$(S_1,S_2)$、$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$、$(S_1,S_5)$、$(S_2,S_3)$、$(S_2,S_4)$、$(S_2,S_5)$、$(S_3,S_4)$、$(S_3,S_5)$、$(S_4,S_5)$，共10种。
2. 计算通路的情况数：要使电路通路，所选2个开关需一个来自左侧$S_1、S_2$，一个来自右侧$S_3、S_4、S_5$，符合条件的情况有：
$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$、$(S_1,S_5)$、$(S_2,S_3)$、$(S_2,S_4)$、$(S_2,S_5)$，共6种。
3. 计算概率：
$P(\mathrm{电路形成通路})=\frac{\mathrm{通路的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
概率计算、通路条件判断、列举计数
【点评】
本题结合简单电路知识考查概率的计算，解题的核心是准确梳理通路的条件，再正确统计两类情况数，能很好地锻炼学生的逻辑分析能力和跨知识点应用能力。
【难度系数】
0.7